Bom ano de 2019, repleto de muitos e bons problemas numéricos para resolver. Não sendo vidente, prevejo que, infelizmente, algumas resoluções serão complicadas por envolverem expressões numéricas com várias operações aritméticas e cujo valor depende da correta aplicação da prioridade das operações. No caso de não as calcularmos bem, corremos o risco, por exemplo, de pagar mais, ou receber menos, do que deveríamos, mas é para situações como estas que este artigo poderá ser útil.
Em traços gerais, uma expressão numérica é uma combinação de números e operações que segue um conjunto de regras para a sua escrita de forma correta, que veremos, e que pode ser calculada, tendo como resultado um número. Neste artigo vamos deixar de fora as expressões que envolvem letras (variáveis), conhecidas como expressões algébricas.
Vamos considerar apenas as expressões que envolvem as operações básicas da matemática: adição, subtração, multiplicação e divisão, além da potenciação. Para simplificar, não utilizaremos a radiciação nem outras operações. As operações podem ser agrupadas com o uso de sinais de associação, nomeadamente, parêntesis curvos, parêntesis retos e chavetas, respetivamente, (), [] e {}, cujo objetivo é o de organizar as expressões.
São exemplos de expressões numéricas: 3, um número, 2 + 7, a adição de dois números (na verdade duas expressões) e 4 x 5, o produto de dois números. No entanto, podem-se construir expressões mais complicadas a partir de outras simples. Por exemplo, 3 + 2 + 7 e 3 x 4 x 5 são expressões obtidas adicionando e multiplicando, respetivamente, as expressões apresentadas anteriormente. Outros exemplos incluem 3 + 2 x 7 : 4 – 5 e 4 - 3^2 x 5. A combinação possível de números e operações é infinita, mas nem todas as combinações correspondem a expressões válidas, como são os casos de, por exemplo, 2 + x 7 (por ter dois sinais de operação consecutivos) ou 2 + (por faltar um operando a seguir ao sinal de +).
Formalmente, podemos definir as regras (de sintaxe) para a boa formação de expressões do seguinte modo:
Todo o número é uma expressão bem formada (exemplo: 3);
Se E for uma expressão bem formada, então -E (o simétrico desta expressão) também é uma expressão bem formada (exemplo: -2);
Se E e F são duas expressões bem formadas, então E + F (adição de duas expressões), E - F (subtração de duas expressões), E x F (multiplicação de duas expressões), E : F (divisão de duas expressões) e E^F (potenciação em que E é a base e F o expoente) são expressões bem formadas (exemplos: 2 + 3, 5 x 8, 14 - 7, 3^2).
Se E é uma expressão bem formada, então (E) (a expressão entre parêntesis) também é uma expressão bem formada (exemplos: (2 + 3)).
Resolvida a questão sintática, abordemos, agora, o significado de uma expressão: o número que resulta de a calcular. Para isso, há que ter em conta a prioridade das operações, isto é, seguir as regras que nos permitem obter o resultado correto de uma expressão, que é aceite universalmente. Para ilustrar, consideremos a expressão 3 + 4 x 5. Como calculá-la? Se procedermos primeiro à adição e depois à multiplicação, teremos 3 + 4 x 5 = 7 x 5 = 35; mas, se efetuarmos primeiro a multiplicação e depois a adição, teremos 3 + 4 x 5 = 3 + 20 = 23. Qual dos dois cálculos está correto? Apesar das duas possibilidades, apenas a segunda está certa, pois, convencionou-se que a multiplicação tem prioridade sobre a adição. Se pretendermos contrariar a prioridade das operações devemos recorrer ao uso de parêntesis. Concretamente, na expressão 3 + 4 x 5 para que a adição tenha prioridade sobre a multiplicação há que inserir parêntesis para que a adição forme uma expressão, isto é, há que escrever (3 + 4) x 5.
De seguida apresentamos a prioridade das operações matemáticas nas expressões numéricas, exemplificando cada situação. Em resumo, não havendo parêntesis, primeiro efetua-se a potenciação; depois a multiplicação e a divisão (pela ordem em que aparecem na expressão) e, por último, a adição e a subtração (também pela ordem em que aparecem na expressão). Em mais detalhe, na hierarquia da prioridade das operações, a ordem é a seguinte:
1) Potenciação: numa expressão numérica que envolva potências calcula-se primeiro as potências antes de qualquer outra operação. A realçar que numa expressão que apresente potências de potências os cálculos são realizados agrupando as potências da direita para a esquerda. Por exemplo, na expressão numérica 2^3^2, calculamos primeiro 3^2 = 9 e só depois 2^9 = 512. Os seja, a expressão 2^3^2 é a mesma que 2^(3^2) e por isso se diz que a potenciação é uma operação associativa à direita.
2) Multiplicação e divisão: quando numa expressão numérica não há potências são efetuadas primeiro as multiplicações e as divisões. Estas duas operações têm a mesma prioridade, daí que os cálculos são efetuados da esquerda para a direita. Por exemplo, para determinar o número designado por 3 x 8 : 2 x 3 : 12 faz-se 3 x 8 : 2 x 3 : 12 = 24 : 2 x 3 : 12 = 12 x 3 : 12 = 36 : 12 = 3.
3) Adição e subtração: numa expressão numérica a adição e a subtração são efetuadas por último. Estas operações têm a mesma prioridade e calculam-se pela ordem em que aparecem, da esquerda para a direita. Por exemplo, 14 - 7 + 10 - 5 = 7 + 10 - 5 = 17 - 5 = 12. Em termos de cálculos, poder-se-ia também fazer 14 - 7 + 10 - 5 = (-7 - 5) + (14 + 10) = -12 + 24 = 12, recorrendo às propriedades comutativa e associativa da adição, mas isso é um assunto que poderei falar noutra altura.
4) Nas expressões com parêntesis, primeiro devem ser efetuados os cálculos das expressões que estão entre parêntesis. Ilustremos, começando por calcular o valor de (8 - 5) x 4 + 6. Primeiro calculamos a operação dentro de parêntesis, tendo-se 8 - 5 = 3. Deste modo, ficamos com 3 x 4 + 6 = 12 + 6 = 18.
Compliquemos um pouco e calculemos o valor de (2 x 8 + 10) : (3 x 6 - 5). Primeiro efetuamos as operações dentro dos parêntesis: no primeiro parêntesis temos 2 x 8 + 10 = 16 + 10 = 26; e no segundo temos 3 x 6 - 5 = 18 - 5 = 13. Por último, fazemos 26 : 13 = 2. Prosseguindo com outro exemplo, calculemos o valor de 60 - {45 - 4 x [6 + (9 - 7)]}. Por vezes recorre-se a parêntesis retos e chavetas além de parêntesis curvos para melhor se ler e perceber a delimitação das expressões. Neste caso, primeiro atendemos aos parêntesis curvos, depois aos parêntesis retos e por fim as chavetas. Assim, 60 - {45 - 4 x [6 + (9 - 7)]}= 60 - {45 - 4 x [6 + 2]} = 60 - {45 - 4 x 8} = 60 -{45 - 32} = 60 - 13 = 47. Perfeito!
Em tom de desafio, proponho ao leitor calcular o valor das expressões numéricas 7 + 7 : 7 + 7 x 7 - 7 e {4 + [(12 - 100:10) + (36 : 6 + 1)]^2}: 5. Compare as suas resoluções com as das Figuras 1 e 2.
A utilização dos sinais de associação nas expressões pode ser comparada ao uso dos sinais de pontuação na escrita de um texto, em que a ausência ou a mudança de lugar de tais sinais pode modificar por completo o seu sentido.
Certamente o leitor conhecerá a velha brincadeira sobre um testamento que deixou os herdeiros à beira de um ataque de nervos. O texto do testamento é o seguinte: “Deixo os meus bens à minha irmã não a meu sobrinho jamais será paga a fatura do alfaiate nada para os pobres” onde a pontuação é omissa. O que se pretende é colocar pontuação de acordo com o interesse de cada um dos elementos referidos na frase: irmã, sobrinho, alfaiate e pobres de forma a que cada um deles herde os bens. À irmã interessa: “Deixo os meus bens à minha irmã! Não a meu sobrinho. Jamais será paga a fatura do alfaiate. Nada para os pobres.” Ao sobrinho interessa: ”Deixo os meus bens à minha irmã? Não! A meu sobrinho! Jamais será paga a fatura do alfaiate. Nada para os pobres.” O leitor certamente conseguirá fazer com que o alfaiate e os pobres sejam os únicos herdeiros só jogando com a pontuação.
Esta frase tem vários significados de acordo com a pontuação escolhida porque é, originalmente, ambígua. A ambiguidade é algo comum nas frases escritas numa língua natural, como o português. Aliás, o leitor certamente conhece profissões que tiram muito partido da ambiguidade da língua, como é o caso do humorismo. Utilizando as regras que vos descrevi, as expressões numéricas nunca são ambíguas. O uso de parêntesis permite escrever expressões, que embora parecidas (por envolverem os mesmos números e a mesma sequência de operações), são universalmente reconhecidas como diferentes, mas nunca ambíguas. Existem várias expressões com o mesmo valor, mas cada expressão só tem um valor.
Termino desejando boas expressões e acertadas resoluções!