Na semana passada comemorou-se, a 27 de março, o dia Mundial do Teatro. A origem do teatro remonta à cidade de Atenas, ligada ao culto do deus do vinho, inicialmente Dionísio e depois Baco. O teatro é uma das formas de expressão de um povo e da afirmação da sua língua. Portugal não é exceção e tem no dramaturgo Gil Vicente um dos seus expoentes, de quem todos lemos algumas das suas obras no ensino secundário. Mas qual a relação do teatro com a Matemática?
Hoje irei falar do papel da Matemática no mundo do espetáculo, nomeadamente na Magia. Sempre houve quem usasse o poder do conhecimento matemático para iludir, convencer e até enganar. O que me proponho hoje é ensinar-vos um método para efetuar a multiplicação de um número por si próprio, que, com o treino adequado, o leitor vai conseguir ser mais rápido, não do que a própria sombra, mas do que fazer o cálculo recorrendo a uma calculadora. Despertei-vos o interesse? Vamos a isto!
O quadrado de um número é o produto deste número por si próprio e denota-sesimbolicamente por A^2, ou seja, A^2 = A x A. Até 10 é fácil de calcular, graças a termos decorado as tabuadas de multiplicação na escola primária. Assim, sabemos na ponta da língua que1^2 = 1, 2^2 = 4, 3^3 = 9, 4^2 = 16, 5^2 = 25, 6^2 = 36, 7^2 = 49, 8^2 = 64, 9^2 = 81 e 10^2 = 100. Maravilha! Claro que conseguimos também memorizar o quadrado de 11, de 12 e daí por diante, mas já temos degastar um pouco mais da nossa preciosa memória e é sempre uma alternativa sujeita ao que conseguimos memorizar. Outra abordagem é não memorizar e fazer a conta à medida que necessitamos, mas aí é um pouco mais difícil. Por exemplo, qual o valor de 13^2? Ora, aplicando o algoritmo da multiplicação, fazemos primeiro 3 x 13, ou seja, 3 x 3 = 9, 3 x 1 = 3, portanto,3 x 13 =39. Agora, 1 x 13 = 13, que multiplicado por 10 e adicionadoa 39, resulta em 169. Mas o processo é um pouco mais complicado e piora para números maiores. O que me proponho é ensinar-vos um “truque” para fazer estes cálculos mais depressa e impressionar os vossos colegas ou familiares.
Mas como calcular mentalmente e com menor esforço o quadrado de um número qualquer com dois algarismos? E com três algarismos? Comecemos pelo primeiro caso e tomemos o número 13 de novo como exemplo. Agora, em vez de 13 x 13, façamos 10 x 16, que facilmente concluímos ser 160. A este adicionemos 3^2, que também sabemos ser 9,obtendo-se169, tal como calculado anteriormente, mas desta feita com menos trabalho. Experimentemos agora calcular o quadrado de 24. Para tal, façamos 20 x 28, que facilmente concluímos ser 560 (2 x 28 x 10) e adicionemos 4^2, obtendo-se 560 + 16 = 576. Vamos ainda a um terceiro exemplo antes de nos debruçarmos sobre o “truque” e por que razão esta regra funciona sempre. Determinemos 65^2, para lidarmos com um número já com alguma dimensão. Façamos 60 x 70 = 4200 (6 x 7 = 42 e acrescentam-se o zero do sessenta e o do setenta). A este valor adicionemos 5^2 obtendo-se 4225. Simples, não? Aliás, para números terminados em 5 o resultado acaba sempre em 25. Ilustremos para o quadrado de 25. Ora, 25^2 será 2 x 3 = 6 e como sabemos que acaba em 25 será 625. Feito! Aqui a regra consiste em tomar o primeiro dígito da esquerda do número (2), multiplicá-lo pelo número natural a seguir (3) e justapor ao produto 25, isto é, 2 x 3 = 6 e justapondo 25 a 6, tem-se 625. Vejamos para o caso de 85. Ora, 8 x 9 = 72 e justapondo 25, ficamos com 7225. Desafio o leitor a generalizar a regra para um número com mais de dois dígitos.
Agora que estamos profissionais a calcular quadrados, vamos perceber o raciocínio por detrás do cálculo. Tomemos de novo o cálculo de 13^2. Em vez de fazermos 13 x 13, fizemos 10 x 16 + 9 = 160 + 9 = 169. Porquê? Ora, 10 = 13 - 3 e 16 = 13 + 3 e 9 = 3^2. O que fazemos é tomar o número a calcular e encontrar outro que seja mais fácil operar (multiplicar). Em vez de 13, usamos 10 que é mais simples de multiplicar. Mas como tirámos 3 a 13, vamos ter de compensar e acrescentarmos 3 a 13. Daí que fazemos (13 - 3) x (13 + 3), ou seja, 10 x 16 = 160. Depois, adicionamos 3^2 e por isso obtemos 169, que corresponde ao quadrado de 13. Vejamos agora como calcular 28^2? Aqui dá mais jeito passar para 30 porque 28 está mais próximo de 30 do que 20 e isto facilita os cálculos. Vamos então calcular (28 - 2) x (28 + 2) + 2^2 = 26 x 30 + 4 = 3 x 26 x 10 + 4 = (3 x 20 + 3 x 6) x 10 + 4 = (60 + 18) x 10 + 4 = 78 x 10 + 4 = 780 + 4 = 784. Parece complicado, mas não é. Ao contrário do que aprendemos na escola primária é mais simples fazer mentalmente a conta da esquerda para a direita do que da direita para a esquerda (como manda o algoritmo da multiplicação). Assim, para calcularmos 30 x 26, deixamos o zero de lado (na verdade dividimos por 10) e vamos fazer 3 x 26. Começando da esquerda para a direita, fazemos 3 x 20 = 60, e adicionamos 3 x 6 = 18, chegando facilmente a 78. Agora colocamos o zero que tirámos (multiplicamos por 10) e obtemos 780. Só nos falta adicionar o 2^2 = 4 e já está! 28^2 = 784.
Claro que, como tudo o resto na vida, a velocidade adquire-se com o treino. O leitor facilmente imagina que um mágico que executa um truque de cartas na perfeição, só o consegue depois de muitas horas de prática. Aqui também é assim. Quanto mais treinar, mais rápido consegue efetuar cálculos e causará melhor impressão nos seus colegas. Com algum treino será capaz de calcular o quadrado de números até 100 mais depressa do que alguém a manusear uma calculadora. E aí, sim, vai deixar todos de boca aberta.
Mas será que este truque funciona sempre? E porquê? Bem, vamos revelar o que está por detrás do truque. Para calcularmos A x A determinamos um número d que nos ajuda a fazer a conta de forma mais simples. Este número que escolhemos diminui ou aumenta A para a dezena mais próxima. Depois, calculamos (A - d) x (A + d) + d^2. O resultado está correto porque o valor desta expressão é igual a A x A (ver Figura 1).É por esta razão que o “truque” funciona para todos os números. Na verdade, trata-se simplesmente de uma escolha de números mais adequados para fazer o cálculo mental, mas cujo resultado é igual à multiplicação original, como não poderia deixar de ser. A fórmula que vos apresentei foi popularizada pelo matemático neozelandês Alexander Craig Aitken (1895–1967) que a usava nos seus espetáculos para calcular mentalmente o quadrado de números grandes.
Esta regra vale para números com qualquer tamanho. Como calcular 313^2? Procedendo de forma análoga aos exemplos anteriores;escolhemos300 como o número mais próximo de 313 que é mais fácil de multiplicar. Pelo que 313 x 313 = (313 – 13) x (313 + 13) + 13 x 13 = 300 x 326 + 13 x 13. Comecemos por 300 x 326. Esqueçamos os dois zeros (o mesmo que dividir por 100) e façamos 3 x 326 da esquerda para a direita. 3 x 300 = 900; 3 x 20 = 60; 3 x 6 = 18. Calculando 900 + 60 + 18 = 978. Colocando os dois zeros (multiplicando por 100) obtemos 97800. Agora teremos de lidar com o número 13. Como já discutimos anteriormente 13^2 = 169, logo 313^2 = 97800 + 169 = 97969. É mais difícil, requer treino, mas que impressiona, lá isso impressiona! Vamos a outro? Terminemos com o cálculo do quadrado de 865. Vamos tomar A = 865 e d = 35. Tem-se então 865 x 865 = (865 – 35) x (865 + 35) + 35 x 35 = 830 x 900 + 35 x 35. Deixemos de lado os três zeros (dividindo por 1000)e calculemos 9 x 83. Ora, 9 x 80 = 720; 9 x 3 = 27; logo, 9 x 83 = 720 + 27 = 747. Recuperando os três zeros (multiplicando por 1000), obtemos 747000. Já vimos que 35^2 = 1225. Logo, 842^2 = 747000 + 1225 = 748225.Dá trabalho, mas com treino chega-se lá.
Convido-vos a assistir ao vídeo do matemático Arthur T. Benjamim (http://tinyurl.com/kz7kqo3) para ver um especialista em ação. Benjamin intitula-se matemágico e é realmente assombroso ver a velocidade com que ele faz cálculo mental usando este e outros truques. Entre diversos cálculos, envolvendo quadrados e datas, finaliza a sua apresentação com a determinação do quadrado de 37691, que a maior parte das calculadoras não consegue efetuar por limitação do número máximo de dígitos com que opera (Note-se que 37691^2 = 1420611481).
Caro leitor, se chegou até aqui e queira iniciar uma carreira artística, porque não avançar para a magia matemática? Se tiver oportunidade veja mais alguns vídeos de Benjamim a encantar e a deliciar grandes assistências com os seus truques e lembre-se que o artista em causa é um professor de matemática. Se quiser atuar ainda nesta Páscoa para os seus amigos e familiares, treine o seu cálculo mental. Caso ainda não se sinta preparado distribua, pelos que estão ao seu redor, quadrados de afetos e amêndoas!