E pronto, acabou-se o que era bom! Foi agradável revermos familiares e amigos, partilharmos uns petiscos e fugirmos à rotina. Contudo, o que é bom acaba depressa e eis-nos de regresso ao trabalho. Instalou-se a correria habitual e voltámos ao repartir constante do tempo pelas múltiplas tarefas do dia a dia. A palavra “repartir” significa “separar em partes, dividir por grupos; distribuir, dividir.” A vida é feita de divisões: partilhámo-la com alguém; dividimos custos e ganhos; distribuímos prioridades e afetos. Enfim, vivemos em sociedade. Caro leitor, hoje vamos debruçar-nos sobre a divisibilidade, não da vida, mas dos números inteiros, apresentando os critérios de divisibilidade, um tópico da Teoria dos Números.
Das quatro operações elementares aprendidas no 1.º ciclo do Ensino Básico, a divisão foi a que nos deu mais luta. Não é por acaso que é a última operação a ser ensinada. No entanto, por vezes a questão não é calcular nem o quociente nem o resto, mas apenas averiguar se um número é divisível por outro. Será que tal pode ser feito sem se efetuar a divisão? Este é o assunto que hoje vamos abordar.
No que se segue, iremos apresentar regras práticas (critérios de divisibilidade) para números inteiros entre 2 e 12 que permitem verificar se um número é divisível por outro, baseando-se apenas na representação (decimal) do número. A realçar que: (1) não é possível dividir por zero; (2) zero é divisível por todos os números (excepto zero); (3) todo o número é divisível por 1; e (4) existem critérios de divisibilidade além dos que apresentamos, mas as regras tornam-se pouco práticas de aplicar (pelo menos de cabeça).
Vamos agrupar os critérios de divisibilidade em 5 categorias para facilitar a sua compreensão:
(1) Critérios baseados no algarismo da ordem das unidades. Nesta categoria incluem-se os critérios de divisibilidade por 2, por 5 e por 10. Um número é divisível por 2 se o seu algarismo das unidades for par, isto é, se for 0, 2, 4, 6 ou 8. Um número é divisível por 5 se o seu algarismo das unidades for 0 ou 5. Finalmente, um número é divisível por 10 se terminar em 0. Este último critério é o mais simples de todos, em virtude do nosso sistema de numeração ser decimal (posicional). Note-se que a multiplicação por 10 acrescenta um zero na ordem das unidades. Assim, qualquer número terminado em zero é divisível por 10.
Exemplos: o número 67563564378 é divisível por 2, pois o seu algarismo da ordem das unidades é 8. Já o número 24435437 não é divisível por 2, pois é um número que termina em 7. O número 54342385 é divisível por 5, pois termina em 5. Já o número 265354308 não é, pois o seu último algarismo é 8 (diferente de 0 e 5). O número 6543543820 é divisível por 10, pois termina em 0. Já o número 7554233242 não é divisível por 10 uma vez que termina em 2.
(2) Critérios baseados na soma dos algarismos que compõem o número. Se um número for formado pelos algarismos XYZ estes critérios baseiam-se no valor da soma X + Y + Z. Nesta categoria incluem-se a divisibilidade por 3 e por 9. Um número é divisível por 3, respetivamente por 9, se a soma dos seus algarismos for divisível por 3, respetivamente por 9.
Exemplos: O número 378 é divisível por 3, pois 3 + 7 + 8 = 18 que é divisível por 3. O número 415 não é divisível por 3, pois 4 + 1 + 5 = 10 que não é divisível por 3. O número 273654 é divisível por 9, pois 2 + 7 + 3 + 6 + 5 + 4 = 27 que é divisível por 9. Já o número 6281 não é divisível por 9, pois 6 + 2 + 8 + 1 = 17 que não é divisível por 9.
Notemos que, se a soma dos algarismos for superior a 10 podemos aplicar o mesmo critério sucessivamente até se obter um número formado por um só algarismo. Se este algarismo (final) for 3, 6 ou 9 o número inicial é divisível por 3. Se for 9, o número é divisível por 9. Consideremos 98765541918. Ora 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 5 + 4 + 1 + 9 + 1 + 8 = 63 e aplicando o mesmo critério ao número 63, tem-se que 6 + 3 = 9, que é divisível por 3 e por 9, pelo que 98765541918 é divisível por 3 e por 9.
(3) Critérios baseados na terminação do número. Nesta categoria analisa-se o número formado pelos últimos algarismos do número dado. São o caso dos critérios de divisibilidade por 4 e por 8. Um número é divisível por 4 quando o número formado pelos seus dois últimos algarismos for divisível por 4. Um número é divisível por 8 se o número formado pelos seus três últimos algarismos é divisível por 8.
Exemplos: o número 345634412 é divisível por 4, pois o número formado pelos seus dois últimos algarismos é 12, que é divisível por 4. Já o número 257456745 não é divisível por 4, pois 45 não é divisível por 4. O número 623424128 é divisível por 8, pois o número formado pelos últimos três algarismos é 128, que é divisível por 8. Já o número 75435436321 não é divisível por 8, pois 321 não é divisível por 8.
(4) Critérios baseados numa fatorização do número cujos fatores (diferentes de 1) são primos entre si. Nesta categoria incluem-se os critérios de divisibilidade por 6 e por 12. Estes números podem ser fatorizados como 2 x 3 = 6 e 3 x 4 = 12. Os fatores 2 e 3, no caso de 6, e 3 e 4, no caso de 12, são primos entre si, isto é, o maior divisor comum de 2 e 3 e de 3 e 4 é 1. Um número é divisível por 6 quando for, simultaneamente, divisível por 2 e por 3. Um número é divisível por 12 quando é simultaneamente divisível por 3 e por 4.
Exemplos: o número 846 é divisível por 6, pois 846 é par e a soma dos seus algarismos (8 + 4 + 6 = 18) é divisível por 3. Já os números 691, 692 e 693 não são divisíveis por 6. No caso de 691, trata-se de um número ímpar cuja soma dos seus algarismos (6 + 9 + 1 = 16) não é divisível por 3. Quanto a 692, é par, mas a soma dos seus algarismos (6 + 9 + 2 = 17) não é divisível por 3. Finalmente, 693 é ímpar, embora a soma dos seus algarismos (6 + 9 + 3 = 18) seja divisível por 3.
O número 720 é divisível por 12, porque é divisível por 3 (pois 7 + 2 + 0 = 9 e 9 é divisível por 3) e além disso, também é divisível por 4 (uma vez que, o número formado pelos últimos dois algarismos de 720 é 20 que é divisível por 4). Já os números 680, 1803 e 721 não são divisíveis por 12. Embora 680 seja divisível por 4 não é divisível por 3. Quanto ao número 1803, é divisível por 3, mas não é divisível por 4. Finalmente, 721 não é divisível por 3 nem por 4.
Voltando a 846, este número é divisível por 2 e por 6, mas não é divisível por 12, pois 2 e 6 não são primos entre si.
Note-se que basta falhar um dos dois critérios de divisibilidade envolvidos para se concluir que o número não é divisível por 6 ou por 12. Só o fizemos para ilustrar, novamente, a aplicação dos critérios mencionados.
(5) Critérios específicos. Aqui incluímos a divisibilidade por 7 e por 11, que têm regras próprias.
Divisibilidade por 7: tome-se, como exemplo, um número com 4 algarismos designado genericamente por XYZW para se ilustrar o critério. Este número é divisível por 7 se o número XYZ – 2 x W também o for. Dito textualmente, um número é divisível por 7 quando o dobro do último algarismo (2 x W), subtraído do número que não contém este último algarismo (XYZ), resultar num número divisível por 7. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 7.
Exemplos: o número 156821 é divisível por 7 se 15682 – 2 x 1 = 15680 também for divisível por 7. Note-se que 1 é o algarismo das unidades de 156821 e que 15682 resulta de 156821 sem o algarismo das unidades. Mas 15680 é ainda muito grande para se determinar (mentalmente) se é divisível por 7, pelo que voltamos a aplicar o mesmo critério, mas agora a 15680. Ora, 1568 – 2 x 0 = 1568, mas ainda é demasiado grande, pelo que repetimos o processo para 1568. Agora, 156 – 2 x 8 = 156 – 16 = 140. Chegados aqui, facilmente verificamos que 140 é divisível por 7, pois 140 = 7 x 2 x 10. No entanto, podíamos ter repetido o processo para o número 140, calculando 14 – 2 x 0 = 14 e agora é fácil concluir que 14 é divisível por 7. Isto significa que o número inicial 156821 é divisível por 7.
Já o número 5372 não divisível por 7, pois 537 – 2 x 2 = 533. Repetimos o processo para 533, tendo-se 53 – 2 x 3 = 47 que não é divisível por 7.
Divisibilidade por 11:
um número é divisível por 11 quando a soma dos algarismos de ordem par (Sp) menos a soma dos algarismos de ordem ímpar (Si) for um número divisível por 11.
Exemplo: o número 2464 é divisível por 11, pois o algarismo da 1.ª ordem é o da ordem das unidades que é 4; o da 2.ª ordem é o da ordem das dezenas que é 6; o da 3.ª ordem é o da ordem das centenas que é 4; e o da 4.ª ordem é o da ordem das unidades de milhar que é 2. Assim sendo, os algarismos de ordem ímpar são o 4 e o 4, enquanto os de ordem par são o 6 e o 2. Então Si = 4 + 4 = 8, Sp = 6 + 2 = 8 e Sp – Si = 8 – 8 = 0. Como 0 é divisível por 11, então 2464 é divisível por 11. Já o número 18347 não é divisível por 11, pois Si = 7 + 3 + 1 = 11, Sp = 4 + 8 = 12 e Sp – Si = 12 – 11 = 1 e 1 não é divisível por 11.
Caro leitor, agora que domina os critérios de divisibilidade, proponho-lhe o seguinte desafio: imagine que foi jantar com mais 5 amigos e que a conta foi de 94,5 €. Qual é a menor gorjeta a dar para arredondar a conta para que todos paguem o mesmo valor (inteiro, sem cêntimos)? Note que se consegue saber o valor da gorjeta sem calcular quanto é que cada um tem de pagar.
Votos de bons critérios e não se esqueça de partilhar boas leituras!