9 de abril de 2020

Crescimento exponencial vs crescimento logístico

Teoricamente, qualquer tipo de organismo teria a capacidade de dominar a Terra apenas através da reprodução. Por exemplo, imagine o leitor que tínhamos inicialmente um par de coelhos, um macho e uma fêmea. Se estes coelhos e os seus descendentes se reproduzissem à velocidade máxima (“como coelhos”) durante 6 anos, sem nenhuma morte, nós teríamos coelhos suficientes para cobrir toda a ilha de S. Miguel. Como o leitor provavelmente notou, não temos coelhos dominando toda a ilha. Por que motivo não vemos estas populações crescer tanto como teoricamente poderiam? Coelhos, e todos os organismos vivos necessitam de recursos, tais como nutrientes e ambientes adequados, de modo a poderem sobreviver e conseguirem reproduzir-se. Estes recursos são limitados e uma população só pode atingir uma dimensão que corresponda à disponibilidade de recursos no seu ambiente. Investigadores de populações usam uma variedade de métodos matemáticos para modelar as dinâmicas das populações (como as populações mudam de dimensão e composição ao longo do tempo). 
Os modelos matemáticos de populações são extremamente importantes pois para além de descreverem as mudanças que ocorrem numa população, são usados para prever mudanças futuras. Neste artigo vamos explorar dois destes modelos - o modelo de crescimento exponencial e o modelo de crescimento logístico.
Para uma melhor compreensão dos diferentes modelos que são usados para representar a dinâmica das populações, vamos começar por observar a equação geral da taxa de crescimento populacional (mudança do número de indivíduos numa população ao longo do tempo):
dN/dt=rN.
Nessa equação dN/dt representa a taxa de crescimento da população num determinado instante, N é a dimensão da população, t é o tempo, e r é a taxa de crescimento per capita – ou seja, a rapidez com que uma população cresce por indivíduo já presente na população. Se assumirmos que não há movimento de indivíduos para dentro ou fora da população, r é apenas função das taxas de natalidade e mortalidade. A equação acima é bastante geral, e pode ser dividida em formas mais específicas para descrever dois diferentes tipos de modelos de crescimento: o exponencial e o logístico (Fig.1): 
- quando a taxa per capita de crescimento (r) assume o mesmo valor positivo, independentemente da dimensão da população, então temos um crescimento exponencial;
- quando a taxa per capita de crescimento (r) diminui à medida que a população aumenta aproximando-se do seu limite máximo, então temos um crescimento logístico.

Crescimento exponencial

O crescimento bacteriano num laboratório é um excelente exemplo de crescimento exponencial. No crescimento exponencial, a taxa de crescimento populacional aumenta ao longo do tempo, em proporção à dimensão da população. Como é sabido, as bactérias dividem-se a meio, e o tempo entre as divisões é de cerca de uma hora para a maioria das espécies de bactérias. Suponha o leitor que colocamos1000 bactérias num frasco, com um suprimento ilimitado de nutrientes. Após 1 hora cada bactéria divide-se em duas, produzindo 2000 bactérias. Após 2 horas teremos 4000, e assim sucessivamente. O conceito central do crescimento exponencial é que a taxa de crescimento populacional aumenta à medida que a população fica maior. E os resultados podem ser dramáticos - após um dia (24 ciclos de divisão), a população de bactérias terá crescido de 1000 para mais de 16 bilhões! Quando o tamanho da população, N, é projetado ao longo do tempo, forma-se uma curva de crescimento em forma de J (isto é a função “explode” - Fig.1).

Crescimento logístico

O crescimento exponencial não é uma situação muito sustentável, uma vez que depende de quantidades infinitas de recursos (que não existem no mundo real). O crescimento exponencial pode acontecer durante algum tempo se houver poucos indivíduos e muitos recursos. Quando o número de indivíduos cresce o suficiente, os recursos começam a esgotar-se, diminuindo a taxa de crescimento. Essa (taxa de crescimento) tende a ficar estável formando uma curva em forma de S (Fig.1). A dimensão da população que a torna estável, tamanho máximo da população que um determinado ambiente pode suportar, é designado por capacidade de carga (K).
É possível modelar matematicamente o crescimento logístico, modificando a equação de crescimento exponencial:
dN/dt=rN(K-N)/K.
Quando a população é muito reduzida, isto é, o valor de N é bastante pequeno comparado com K, o quociente (K-N)/K tende para K/K=1, e passamos a ter um crescimento exponencial. Este facto pode ser observado na Fig. 2, onde a função exponencial modela na perfeição o crescimento inicial, mas, à medida que o número de casos infetados aumenta, o crescimento afasta-se cada vez mais da curva exponencial. 
Que fatores determinam a capacidade de carga?
Basicamente, qualquer tipo de recurso importante para a sobrevivência da espécie pode atuar como limitador. Para as plantas, a água, a luz do sol, nutrientes e o espaço para crescer são alguns recursos chave. Para os animais, recursos importantes incluem alimento, água, abrigo e espaço para nidificar. Quantidades limitadas desses recursos geram competição entre os membros da mesma população. A competição por recursos pode não afetar populações que estão abaixo da sua capacidade de carga - os recursos são abundantes e os indivíduos podem obter o que necessitam. Contudo, com o crescimento da população, a competição intensifica-se. 

COVID-19

Caro leitor, nesse momento trágico que a humanidade atravessa, e em particular Portugal, seria imperdoável não falar no COVID-19 e no aumento do número de pessoas infetadas no nosso país. Pela primeira vez na história da humanidade, o mundo segue em direto e ao segundo o crescimento da pandemia. Os dados são públicos e acessíveis a todos. Na fig.2 estão representados os casos de infeção pelo novo corona vírus, em Portugal, desde o dia 2 de Março até ao dia 4 de Abril. Como se pode observar na figura, o crescimento pode ser modelado, com uma aproximação bastante fiel, por uma função logística de equação y=13693,4368/(1+1736,7315e^(-0,2467x)). 
Inicialmente o crescimento seguiu uma curva exponencial, mas ao fim de algum tempo, felizmente, começou a afastar-se da mesma. Este afastamento deve-se essencialmente às medidas de contenção da propagação do vírus, tomadas pelo Governo e pelas próprias pessoas que, estando em casa, evitam uma propagação exponencial do mesmo. 
Com as medidas que todos nós estamos a tomar, de afastamento social, quarentena, limpeza e desinfeção dos espaços, etc., o gráfico de crescimento da infeção aproxima-se de uma função logística, e, mantendo-se a tendência atual (ver Fig. 2), prevejo que o valor máximo de infeções em Portugal irá ser atingido por volta do dia 21 de Abril, com um total de aproximadamente 13630 pessoas infetadas.
Independentemente dessa previsão corresponder ao valor exato ou não (é apenas uma previsão e como tal está associada uma margem de erro), o mais importante, e isso são factos baseados nos valores reais até ao momento em que estou a escrever este artigo, é que o crescimento está a diminuir, já ultrapassamos o ponto de inflexão. Estamos no bom caminho. É só mais um esforço de todos e venceremos. Vamos conseguir!
Mantenha-se em segurança. Fique em casa!
 

Paulo Medeiros

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Autor: CA

Categorias: Opinião

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