9 de julho de 2020

Máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum: dois conceitos distintos e uma confusão comum

Caro leitor, hoje vou abordar duas noções matemáticas – máximo divisor comum (m.d.c.) e mínimo múltiplo comum (m.m.c.) – que, apesar de serem estudadas pela primeira vez no 5.º ano de escolaridade e de serem repetidamente aplicadas nos anos seguintes, a realidade é que há alunos que chegam ao ensino superior sem as terem entendido. Serão assim tão complicadas?
Matematicamente falando, há dois conceitos básicos para determinar o máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum de dois ou mais números: a de divisor e a de múltiplo de um número, respetivamente.
A divisão inteira de dois números inteiros, a e b, resulta em dois números inteiros, q e r, que satisfazem a igualdade a = b × q + r, onde 0 ≤ r < b. Denominamos o número a por dividendo, b por divisor (que tem de ser diferente de zero), q é o quociente e r o resto da divisão. Esta igualdade não nos é estranha e, certamente, lembramo-nos da melodia aprendida na escola primária, a propósito da operação de divisão, “o dividendo é igual ao divisor vezes o quociente mais o resto.” A condição 0 ≤ r < b assegura que o quociente é único.
Euclides de Alexandria (aproximadamente 330 – 260 a. C.) foi um notável matemático grego, autor da obra Os Elementos, que define os alicerces da Geometria e da Teoria de Números. Estudou a divisibilidade dos números inteiros e estabeleceu a igualdade que acima apresentámos, a qual resulta da aplicação do Algoritmo de Euclides para a divisão.
Voltando à igualdade a = b × q + r, quando r = 0 a divisão diz-se exata. Os números b e q são divisores de a e, por sua vez, a é um múltiplo de b e de q. Dado um número natural n, D(n) é o conjunto dos divisores desse número que terá no máximo n elementos compreendidos entre 1 e n, inclusive. Os divisores 1 e n dizem-se divisores triviais de n, enquanto os restantes elementos de D(n) dizem-se divisores próprios de n. Note-se que os divisores de um número surgem sempre aos pares. Por exemplo, os números que dividem 8 são 1; 2; 4 e 8, pois 8 = 1 × 8 + 0  e 8 = 2 × 4 + 0, pelo que D(8) = {1, 2, 4, 8}. Os divisores de 12 são (aos pares) 1 e 12, 2 e 6, e 3 e 4, logo D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}. Ainda outros dois exemplos, que serão usados mais tarde, são D(180) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90, 180} e D(252) = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 9, 12, 14, 18, 21, 28, 36, 42, 63, 84, 126, 252}.
Denotamos por M(n) o conjunto dos múltiplos de n, isto é, sendo n um número natural M(n) = {0, n, 2 × n, 3 × n, ...}. As reticências no conjunto anterior indicam que este é infinito, pelo que não faz sentido considerar o maior elemento (múltiplo) do conjunto M(n). Por exemplo, M(8) = {0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, ...} e M(12) = {0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, ...}.
O que se entende afinal por máximo divisor comum de dois números a e b? Significa o maior número que divide ao mesmo tempo os números a e b, ou seja, o maior número que pertence simultaneamente ao conjunto dos divisores de a e de b. Denota-se por m.d.c.(a, b). Note-se que os conjuntos D(a) e D(b) podem ter vários elementos em comum, mas o m.d.c.(a, b) é o maior destes elementos comuns. Por exemplo, o m.d.c.(8, 12) = 4, pois D(8) = {1, 2, 4, 8} e D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}. Os elementos comuns aos dois conjuntos são 1, 2 e 4 e destes o maior elemento é 4. 
Avancemos para o conceito de mínimo múltiplo comum. O mínimo múltiplo comum entre dois números naturais a e b, denotado por m.m.c.(a, b), é o menor múltiplo não nulo que é comum aos conjuntos dos múltiplos de a e b. Por exemplo, o m.m.c.(8, 12) = 24, pois M(8) = {0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, ...} e M(12) = {0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, ...}. Os elementos comuns aos dois conjuntos são 0, 24, 48, 72, ... e o menor elemento não nulo desta sequência é o 24. 
Mas para que servem estes conceitos? Permitem, por exemplo, adicionar e subtrair frações; escrever frações equivalentes, resolver equações e inequações e, de um modo geral, resolver problemas do quotidiano. Vejamos um exemplo de aplicação de cada um destes conceitos.
Problema 1 (m.d.c.): uma instituição de solidariedade dispõe de 180 sacos de arroz e 252 sacos de farinha e pretende fazer cabazes para distribuir. Qual o maior número de cabazes que é possível fazer com os sacos de arroz e de farinha disponíveis, sabendo que todos os cabazes devem levar igual número de sacos de arroz e igual número de sacos de farinha? Sem perder tempo com tentativas, começamos por determinar o m.d.c.(180, 252). Ora, os divisores comuns a 180 e a 252 são 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 e 36, como visto acima, pelo que o m.d.c.(180, 252) = 36. Isto quer dizer que é possível arranjar 36 cabazes, tendo cada cabaz 5 (180 : 36) sacos de arroz e 7 (252 : 36) sacos de farinha. 
Problema 2 (m.m.c.): no cimo de uma torre de uma emissora de televisão, piscam duas luzes de sinalização com frequências diferentes. A primeira pisca de 8 em 8 segundos, enquanto a segunda pisca de 12 em 12 segundos. Se num certo instante, as luzes piscam simultaneamente, após quantos segundos elas voltarão de novo a piscar ao mesmo tempo? Neste caso, começamos por calcular o m.m.c. (8, 12) = 24, como vimos acima. No contexto do problema, isso significa que as luzes voltarão a piscar simultaneamente ao fim de 24 segundos.
As duas resoluções são simples, mas obriga a determinar em extensão os conjuntos dos divisores e dos múltiplos dos números envolvidos. Esta tarefa é fastidiosa para números grandes. Aliás, o que impede decifrar as comunicações seguras efetuadas através da Internet (SSL) prende-se exatamente com a dificuldade em determinar os divisores de números grandes para averiguar se são primos. Mas como calcular o máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum sem recorrer ao conjunto dos divisores e ao conjunto dos múltiplos?
Euclides propôs um algoritmo para determinar o máximo divisor comum entre dois números, que ficou para a história como o “Algoritmo de Euclides,” e que é baseado no princípio de que o máximo divisor comum de dois números é igual ao máximo divisor comum entre o menor dos dois e a diferença entre estes. Isto é, o m.d.c.(8, 12) = m.d.c.(8, 12 - 8) = m.d.c.(8, 4). Ao substituir-se o maior dos números pela diferença entre os dois, passamos a trabalhar com números cada vez mais pequenos. Este processo repete-se até os dois números serem iguais, que corresponde ao máximo divisor comum pretendido. Ou seja, m.d.c.(8, 4) = m.d.c. (4, 8 - 4) = m.d.c. (4, 4) = 4. 
Outro processo para determinar tanto o máximo divisor comum como o mínimo múltiplo comum assenta no conceito de fatorização de um número em fatores (primos), isto é, escrever o número sob a forma de um produto de números (primos). Para tal, toma-se o número a fatorizar e divide-se pelo menor divisor do número que é superior a 1. Repetimos este processo para cada quociente obtido até que este seja 1. Os divisores usados são os fatores primos do número. Por exemplo, fatorizemos 8. O menor divisor superior a 1 é 2 (visto que 8 é par), ou seja, 8 = 2 × 4. Repetimos o processo para 4 obtendo-se 4 = 2 × 2. Por sua vez, 2 = 2 × 1 e o processo acaba. Então, 8 = 2 × 2 × 2 = 2^3. Vejamos para o caso de 12. Tem-se que 12 = 2 × 6, 6 = 2 × 3, 3 = 3 × 1. Ou seja, 12 = 2 × 2 × 3 = 2^2 × 3. Estas são as fatorizações de 8 e de 12.
O Teorema Fundamental da Aritmética afirma que todo o número natural maior do que 1 pode ser decomposto num produto único de números primos. Por número primo entende-se um número natural maior que 1 que só tem dois divisores: ele próprio e a unidade. O Teorema anterior foi apresentado, pela primeira vez, no livro IX dos Elementos de Euclides.
Recorrendo à fatorização, o máximo divisor comum de dois (ou mais números) é o produto dos fatores comuns com menor expoente. Retomemos o exemplo do m.d.c.(8, 12). Sendo 8 = 2^3 e 12 = 2^2 × 3, o 2 é o único fator comum a 8 e 12; o menor expoente a que este fator está elevado é 2, pelo que m.d.c.(8, 12) = 2^2  = 4, como já tínhamos calculado.
O mínimo múltiplo comum de dois (ou mais números) é o produto dos fatores comuns e não comuns com maior expoente. Voltemos ao exemplo do m.m.c.(8, 12). Os fatores comuns e não comuns a 8 e 12 são 2 e 3. O maior expoente do 2 é 3 pelo que m.m.c.(8, 12) = 2^3 × 3 = 24.
Exemplifiquemos agora para 180 e 252 (ver a Figura). Como 180 = 2 × 90, 90 = 2 × 45, 45 = 3 × 15, 15 = 3 × 5 e 5 = 5 × 1, tem-se que 180 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 2^2 × 3^2 × 5. Quanto a 252, tem-se 252 = 2 × 126, 126 = 2 × 63, 63 = 3 × 21; 21 = 3 × 7 e 7 = 7 × 1. Ou seja, 252 = 2 × 2 × 3 × 3 × 7 = 2^2 × 3^2 × 7. Daqui, m.d.c.(180, 252) = 2^2 × 3^2 = 36 e m.m.c.(180, 252) =  2^2 × 3^3 × 5 × 7 = 1260. 
Como podemos constatar o máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum entre dois ou mais números são conceitos completamente distintos. Num, utilizam-se os divisores, no outro os múltiplos; num procura-se o menor elemento de um conjunto infinito, no outro o maior elemento de outro conjunto finito. Sendo conceitos tão diferentes volto a insistir na questão: porquê a confusão? 
Caro leitor, espero que tenha enriquecido o seu conhecimento em Matemática com o menor do seu esforço. Votos de umas boas férias e não se esqueça “faça no mínimo um múltiplo do que é comum.” 
 

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Categorias: Opinião

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