Complementos aritméticos: um conhecimento do passado

Há muitos conceitos e conhecimentos antigos que, de acordo com as necessidades atuais, foram readaptados ou esquecidos. O complemento aritmético é um que foi esquecido no tempo. O seu ensino reporta-se ao final do século XIX e princípios do século XX. Normalmente era apresentado após a operação de subtração, no capítulo referente às operações de adição e de subtração – nas noções preliminares dos elementos de aritmética, para o cálculo alternativo de subtrações.
O complemento aritmético (CA) de um número é a diferença entre esse número e dez das suas unidades da ordem mais elevada. Por outras palavras, é o valor que falta ao número para ser igual a uma unidade da ordem imediatamente superior ao seu algarismo de maior ordem. Alguns exemplos: CA(3) = 7, pois 3 está na ordem da unidade, a ordem seguinte é ordem da dezena, assim fazemos 10 – 3 que resulta 7; CA(27), como a ordem maior é a ordem da dezena, dez vezes essa ordem corresponde à sua ordem superior, ordem da centena, cuja unidade é 100. Então fazemos 100 – 27 que é igual a 73, logo CA(27) = 73; CA(235) = 1000 – 235 = 765. Mesmo que o numeral possua uma parte decimal o procedimento é o mesmo, por exemplo, CA(12,56) = 100,00 – 12,56 = 87,44.
A regra prática para obtenção dos complementos aritméticos consiste em subtrair-se de 9 todos os algarismos do numeral, exceto o último algarismo significativo da direita o qual se deve subtrai de 10. Observamos que com a exceção do 0 (zero) todos os outros algarismos são significativos. Por exemplo, sabemos pela definição que CA(124) = 1000 – 124 = 876, utilizando a regra prática, temos que o algarismo da ordem da unidade do complemento aritmético é 6, pois 10 – 4 = 6, o da ordem da dezena é 7, visto que 9 – 2 = 7 e o da ordem da centena é 8, porque 9 – 1 = 8, obtendo-se o numeral 876 como complemento aritmético de 124. No cálculo do complemento aritmético de 12300, observamos que o seu último algarismo significativo é 3, assim, aplicando a regra prática, temos, 10 – 3 = 7, 9 – 2 = 7 e 9 – 1 = 8, logo, CA(12300) = 87700. Devemos ter as mesmas considerações para o cálculo do complemento aritmético de um número decimal, por exemplo, para 23,45 fazemos 10 – 5 = 5, 9 – 4= 5, 9 – 3 = 6 e 10 – 2 = 8, obtendo CA(23, 45) = 86,55.
O complemento aritmético pode ser estendido para outros sistemas de numeração, com uma base diferente da base decimal (base 10) que está associada ao nosso sistema de numeração. Por curiosidade apresentamos o seguinte exemplo no sistema de numeração de base 8. Consideremos o numeral 423(oito), que corresponde a 4x8^2+ 2x8 + 3 = 279, e vamos calcular o seu complemento aritmético em relação à base 8. Seguindo a mesmo raciocínio aplicado para o numerais no sistema decimal, calculamos, CA(453(oito)) = 1000(oito) – 423(oito) = 355(oito). Também podemos aplicar uma regra prática subtraindo-se de 7 (a base – 1) todos os algarismos do numeral com exceção do último algarismo significativo da direita o qual se deve subtrair de 8 (a base). Temos então que 7 – 4 = 3, 7 – 2 = 5 e 8 – 3 = 5. Evidentemente, consoante a base utilizada, os valores serão alterados, pois se tivermos um numeral na base 6, por exemplo, 214(seis), teremos que fazer 5 – 2 = 3, 5 – 1 = 4 e 6 – 4 = 2, logo CA(214(seis)) = 342(seis).
O complemento aritmético era utilizado no cálculo da diferença entre dois números. Assim, para obter a diferença entre dois números, adicionamos ao maior o complemento aritmético do menor e subtraímos, da soma obtida, dez unidades da ordem mais elevada do mesmo número menor. Para facilitar a compreensão na escrita do algoritmo e não esquecer a condição da subtração das dez unidades na respetiva ordem, vamos utilizar a indicação (1) na escrita do seu complemento. Façamos por este meio a subtração entre, por exemplo, 6543 e 735. O CA(735) = 265, vamos reescreve-lo como (1)265. Então, efetuamos 6543 + (1)265, obtendo: o algarismo da ordem da unidade do resultado, 8, que advém de 3 + 5 = 8; o algarismo da ordem da dezena, 0, que decorre do algarismo da unidade da soma de 4 e 6, igual a 10; o algarismo da ordem da centena, 8, que resulta de 5 + 2 + 1 = 8, onde 1é o algarismo da dezena da soma anterior entre 4 e 6; o algarismo da ordem da unidade de milhar, 5, que se segue da adição 6 + (1) = 6 – 1 = 5, obtendo como resultado final 5808. Ao considerar o numeral (1)265, já estamos incluindo a subtração, neste caso, de 1000 do resultado obtido. Caso contrário teríamos que fazer: primeiro CA(735) = 265, depois 6543 + 265 = 6808, e finalmente, 6808 – 1000 = 5808. Assim, 6543 – 735 = 5808.
Este é um processo bem interessante para o cálculo da subtração. Calculemos agora 122846 – 3236. Sabendo que CA(3236) = 6764, fazemos 122846 + (1)6764 e obtemos 119610. Logo, 122836 – 3236 = 119610.
Na imagem temos uma subtração retirada do livro “Elementos de Arithmetica” de Augusto José da Cunha, datado de 1899. A subtração dada como exemplo é 3745638 – 59876, cuja diferença é igual a 3685762 e utilizando o complemento aritmético do subtrativo.
Na adição também podemos utilizar o conceito do complemento aritmético, mas o método não se torna tão apelativo como para a subtração, pois temos que recorrer à subtração para obtermos a soma.
Outro tipo de cálculo em que podemos recorrer ao complemento aritmético é o que envolve ao mesmo tempo as adições e as subtrações, por exemplo, 57 – 12 + 28 – 36. Como temos que subtrair 12 e 36, vamos considerar os complementos aritméticos de 12 e 36, mas já colocando a observação de ser um complemento aritmético, isto é, com a indicação (1). Assim, passaremos a escrever para efeitos de cálculo, CA(12) = (1)88 e CA(36) = (1)64, lembrando que os números entre parenteses devem ser “retirados” no cálculo a ser efetuado. Logo, 57 – 12 + 28 – 36 será reescrito envolvendo apenas a operação de adição 57 + (1)88 + 28 + (1)64 . Efetuando a adição na ordem da unidade temos 7 + 8 + 8 + 4 = 27, obtendo 7 para o algarismo da unidade do resultado da operação. Efetuando a adição na ordem das dezenas temos 5 + 8 + 2 + 6 e adicionamos 2 da conta anterior, pois tínhamos 2 dezenas e 7 unidades. Assim, a soma na ordem da dezena é 23, ou seja, temos 2 centenas e 3 dezenas, obtendo 3 para o algarismo da dezena do resultado. Para a ordem da centena temos 2, mas como temos do complemento aritmético (1) + (1), devemos efetuar 2 – 1 – 1 = 0, obtendo 0 para o algarismo da centena do resultado. Logo, no final temos 57 – 12 + 28 – 36 = 37.
Passemos à multiplicação por complemento aritmético. Este curioso processo foi encontrado no n.º 3 do jornal Micro, dos estudantes do Liceu Nacional de Ponta Delgada, de 24 de novembro de 1899 e relata como podemos efetuar a multiplicação recorrendo ao complemento aritmético. Para além desse tópico, também menciona como podemos utilizar o complemento aritmético na subtração e na adição.
Assim, para o cálculo do produto de dois fatores por meio do complemento aritmético, procedemos à subtração do fator de maior valor pelo produto do seu complemento aritmético com o antecessor do outro fator. Por exemplo, 6 x 8 = 8 – CA(8) x (6 – 1) = 8 – (1)2 x 5. O resultado de (1)2 x 5 vem do cálculo 2 x 5 = 10, para a ordem da unidade, com (1) x 5 = (5), para a ordem da dezena, e segue que, 10 + (5)0 = (4)0, visto que 1 + (5) = 1 – 5 = - 4, ou seja, (4) na ordem da dezena, uma vez que é negativo. Com esse resultado, temos que 6 x 8 = 8 – (4)0 = 8 – (-40) + 0 , isto é, 6 x 8 = 8 + 40 – 0 = 48.
Para um número com mais de um algarismo o processo é o mesmo, em temos sempre de ficar atentos ao produto entre o complemento aritmético de um fator e o antecessor do outro fator. Por exemplo, 4 x 15 = 15 – CA(15) x (4 – 1) = 15 – (1)85 x 3 = 15 – (1)55 = 15 + 100 – 55 = 60, pois (1)85 x 3 = 255 + (3)00 = (1)55 = – 100 + 55. Façamos agora 89 x 12. Então, 89 x 12 = 89 – CA(89) x (12 – 1) = 89 – (1)11 x 11 = 89 – (10)21 = 89 + 1000 – 21 = 1068, visto que (1)11 x 11 = (11)00 + 121 = (10)21.
Tudo é uma questão de hábito e de treino…