Hoje proponho que façamos cálculo mental. Não desista já! Vai ver que é simples e compensador. Os métodos de cálculo que serão apresentados foram referidos no filme americano,Gifted, de 2017,que passou neste Natal na televisão, e que gira em torno de uma criança prodígio que, aos 7 anos, surpreende a sua professora ao fazer cálculos mentais usando o Método de Trachtenberg.Querem impressionar? Leiam até ao fim e pratiquem!
É sabido que as operações elementares da matemática: adição, subtração, multiplicação e divisão são um “quebra-cabeças” e, às vezes, um verdadeiro tormento no 1.º Ciclo do Ensino Básico. Em qualquer uma delas, geralmente, os alunos têm algumas dificuldades na sua aprendizagem. Na multiplicação, em particular, o algoritmo exige o conhecimento das benditas tabuadas de multiplicação e da operação da adição. O que mais me surpreende, é que terminado este ciclo de ensino, o aluno esqueça por completo como se faz uma multiplicação tendo necessidade de recorrer à calculadora. E o mais intrigante é que em matemática, ao longo dos anos de escolaridade, há sempre cálculos a fazer e as mesmas operações a serem continuamente trabalhadas.
Sem o devido destaque que é merecido, eis uma pequena nota biográfica sobre o inventor russo dos métodos das multiplicações que hoje apresento. Um resumo mais alargado está a ser preparado para uma próxima oportunidade. Jakow Trachtenberg nasceu em 1888,em Odessa, e estudou na Universidade daquela cidade. Durante a Primeira Guerra Mundial, foi preso pelas forças alemãs e enviado para um campo de concentração. Como forma de manter a sua mente ocupada e conseguir suportar as atrocidades a que os prisioneiros estavam sujeitos, Jakow desenvolveu,em pleno cativeiro, os métodos que veremos aqui, para além de outros que deixarei para outros artigos.
Após a guerra, Jakow emigrou para os Estados Unidos, onde publicou o seu método no livro The Trachtenberg Speed Systemof Mathematics, o qual foi um sucesso, tendo sido traduzido para vários idiomas.
Ao longo da sua vida ,Trachtenberg continuou a desenvolver e a aperfeiçoar o seu método, tendo escrito outros livros sobre matemática, incluindo The Trachtenberg Speed Systemo fMental Calculation e TheTrachtenberg Speed Systemof Roman Numerals. Considerado um dos pioneiros do cálculo mental, ele tinha interesse numa ampla gama de assuntos, incluindo matemática, ciência, filosofia e música, tendo inclusive estudado música também na Universidade de Odessa. Foi um defensor do ensino da matemática de forma divertida e envolvente. Morreu em 1953, aos 65 anos de idade.
Vamos começar por apresentar o método de Trachtenbergpara a multiplicação por números entre 2 e 12. Contudo, por questões de espaço, apresentaremos somente as regras para a multiplicação por 11 e 12 e por 5, 6 e 7. As regras para a multiplicação pelos restantes números, bem como o método generalizado, ficam para outra altura.
Para compreendermos cada uma das regras que iremos abordar é necessário apresentar alguns conceitos que serão usados de forma transversal na multiplicação por diferentes números.
i) Os termos da operação de multiplicação são multiplicador, multiplicando e produto, tendo-se multiplicador ×multiplicando = produto;
ii) Iremos proceder por análise ao multiplicador, tomando dígito a dígito, da direita para a esquerda, ou seja, se considerarmos o número 63 247, vamos analisar o 7, depois o 4, depois o 2 e assim por diante;
iii) Os métodos que vamos apresentar dão-nos logo o valor final do produto, dígito a dígito, da direita para a esquerda, sem necessidade de se escrever qualquer cálculo parcial;
iv) O produto é separado do multiplicador e do multiplicando por um traço horizontal(ver figura);
v) Cada dígito do produto é escrito ordenadamente debaixo do dígito do multiplicador procedendo-se da direita para a esquerda, isto é, o dígito da ordem das unidades do produto é escrito debaixo do dígito da ordem das unidades do multiplicador, o mesmo acontecendo com o dígito da ordem das dezenas, centenas, etc.
vi) No multiplicador, o dígito à direita de outro, isto é, o de ordem imediatamente inferior, designa-se por “Vizinho”. O vizinho do dígito mais à direita (o da ordem das unidades) considera-se zero;
vii) Sempre que o resultado da operação sobre um dígito for um número maior ou igual a 10 e menor do que 19, considera-se o dígitodas unidades e indica-se o transporte com um ponto “.”na parte superior esquerda do dígito do produto (vulgarmente dizemos “e vai 1”). No caso do transporte ser 2, colocam-se dois pontos. Nunca será necessário considerar mais do que 2 no transporte;
viii) Para facilitar a escrita das regras considera-se sempre um zero à esquerda do número, ou seja, todos os números são iniciados por zero (o que, como sabemos, não altera o seu valor).
ix) As operações envolvidas nos diferentes algoritmos são: a adição de dois dígitos, a duplicação de um dígito e a metade inteira de um dígito. Por “metade inteira” entende-se o quociente da divisão por 2 desprezando-se o resto. Por exemplo, a metade inteira de 4 é 2 que é igual à metade inteira de 5, pois 5 a dividir por 2 é 2 e resta 1, que se despreza. Representaremos a metade inteira de 5 como mi(5). Considerando os números de 0 a 9, as metades inteiras são, respetivamente, mi(0) = 0, mi(1) = 0, mi(2) = 1, mi(3) = 1, mi(4) = 2, mi(5) = 2, mi(6) = 3, mi(7) = 3, mi(8) = 4, mi(9) = 4;
x) Note-se que não é necessário saber as malfadadas tabuadas da multiplicação. Interessante, não?
Vejamos então a multiplicação por 11:
Admitamos que se pretende calcular 63 247 × 11. A regra é a seguinte: adicionar cada dígito ao seu vizinho. Considera-se 063 247 × 11 (atendendo ao ponto viii). Ver a figura para acompanhar o cálculo. Assim teremos, 7 + 0 = 7, pois o vizinho de 7 é 0 (ponto vi); 4 + 7 = 11, então escreve-se 1 (algarismo das unidades de 11) e vai 1 assinalado com “.” (ver ponto vii); 2 + 1 (transporte) + 4 = 7; 3 + 2 = 5; 6 + 3 = 9; 0 + 6 = 6. O produto é 695717. Simples, não? Em bom costume dos professores de matemática, agora que se entusiasmou, como trabalho de casa, proponho que aplique esta regra e calcule 6 250 188 ×11. Feito? A solução está no final.
A multiplicação por 12 tem uma regra muito semelhante: duplicar cada dígito e adicioná-lo ao seu vizinho. Considere-se agora 063 247 × 12. Acompanhe o cálculo observando a figura. Começando com o 7 fazemos 2 × 7 + 0 = 14. Tem-se assim 4 e vai 1; 2 × 4 + 1 (transporte) + 7 = 6 e vai 1; 2 × 2 + 1 (transporte) + 4 = 9; 2 × 3 + 2 = 8; 2 × 6 + 3 = 5 e vai 1; 2 × 0 + 1 (transporte) + 6 = 7. O produto é 758 964. Que dizem? Para exercitar calcule 6 250 188 × 12, cuja solução está no final.
Vejamos agora as multiplicações por 5, 6 e 7, nas quais entram o conceito de “metade inteira”.
Multiplicação por 6.
A regra diz-nos para: adicionar cada dígito à metade inteira do vizinho. Caso o dígito seja ímpar, adicionar 5. Tomemos novamente o mesmo multiplicador, 63 247 e calculemos 063 247 × 6. Ver figura para facilitar a leitura. Como 7 é ímpar, fazemos 7 + 5 + mi(0) = 2 e vai 1, ou seja, como 7 é ímpar, adicionamos 5 e o vizinho de 7 é 0 cuja metade inteira é 0. A seguir temos 4 (que é par) + 1 (transporte) + mi(7) = 4 + 1 + 3 = 8. Segue-se 2 (que é par) + mi(4) = 2 + 2 = 4; depois 3 (que é ímpar, logo adicionamos 5, para além de mi(2)) tendo-se 3 + 5 + mi(2) = 3 + 5 + 1 = 9; O próximo dígito do produto é 6 (que é par) + mi(3) = 6 + 1 = 7. Por fim, temos 0 (par) + mi(6) = 0 + 3 = 3. O produto é 379482. Aplique a mesma regra e calcule 6 250 188 × 6, cuja solução está no final.
Para a multiplicação por 7 duplica-se cada dígito e adiciona-se à metade inteira do vizinho. Caso o dígito seja ímpar, adicionar 5. Calculemos agora 063 247 × 7. Ver figura. Começando com o 7 que é ímpar fazemos 2 × 7 + 5 + mi(0) = 2 × 7 + 5 + 0 = 19 tendo-se 9 e vai 1. O próximo é 4 (que é par) obtendo-se 2 × 4 + 1 (transporte) + mi(7) = 8 + 1 + 3 = 2 e vai 1. A seguir, 2 × 2 (que é par) + 1 (transporte) + mi(4) = 4 + 1 + 2 = 7. Segue-se o 3 (que é ímpar) obtendo-se 2 × 3 + 5 + mi(2) = 6 + 5 + 1 = 2 e vai 1. A seguir 2 × 6 (par) + 1 (transporte) + mi(3) = 12 + 1 + 1 = 4 e vai 1; Finalmente, 2 × 0 (que é par) + 1 (transporte) + mi(6) = 0 + 1 + 3 = 4. Assim, o produto é 442 729. Agora calcule 6 250 188 × 7 e confirme o seu resultado com o que está no final.
Na multiplicação por 5 considera-se a metade inteira do vizinho. Caso o dígito seja ímpar, adicionar 5. Efetuemos agora 063 247 × 5. Ver figura. Começando novamente com o 7 que é ímpar, então mi(0) + 5 = 5. A seguir, 4 é par, logo mi(7) = 3. Depois, 2 é par, mi(4) = 2; Segue-se, 3 que é ímpar, mi(2) + 5 = 1 + 5 = 6. Segue-se 6 que é par, mi(3) = 1; Por fim, 0 é par, portanto mi(6) = 3. Resulta o produto 316 235.Magistral! Exercite a regra calculando 6 250 188 × 5 e espreite o resultado no final.
Os métodos abordados são baseados em princípios e operações simples, o que os tornam fáceis de aprender, rápidos e precisos. Convém começar e praticar com números pequenos e ir aumentando o grau de dificuldade. Em cerca de uma hora, o leitor conseguirá dominar com destreza os 5 métodos apresentados.
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Eis as soluções dos cálculos propostos:
6 250 188 × 11= 68 752 068;
6 250 188 ×12 =75 002 256;
6 250 188 ×6 = 37 501 128;
6 250 188 ×7 = 43 751 316;
6 250 188 × 5 = 31250940.
Maria do Carmo Martins
