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Matemática e a arte milenar do Origami

Há muito que a arte milenar do Origami vem sendo utilizada como recurso didático/pedagógico no ensino da Matemática, quer para a Aritmética, quer para a Geometria. Para além de ser uma forma de arte, o Origami é também terapêutico e ajuda a meditação.
A origem do Origami é incerta. Documentos apontam para a sua origem no Japão, outros, na China. A palavra “Origami”, de origem japonesa, é composta por “ori” que descende do verbo “oru”, com o sentido de “dobrar”, e por “gami” que vem do vocábulo “ kami”, que denota “papel”. Assim, Origami significa literalmente, “dobrar papel”. A ação de dobrar o papel de forma precisa ajuda a concentração, acalma a mente e alivia o “stress”. Por conseguinte, quem aprende a arte do Origami, para além de fortalecer a auto estima, consegue desenvolver: a criatividade; a imaginação; a memória; a paciência; a atenção; as habilidades motoras com as duas mãos, ativando os dois lados dos cérebro, bem como o tato e a visão; e as habilidades intelectuais, especificamente as espaciais.
Para o Origami é necessário um pedaço de papel. O papel que conhecemos nos dias de hoje aparece primeiramente na China no século II, onde era utilizando para a escrita. No Japão, o papel foi introduzido por monges budistas por volta do ano de 610, século VII, e devido ao custo do papel, o Origami era usado principalmente para fins cerimoniais e religiosos, mas com o tempo, e à medida que este se tornava mais acessível, essa arte evoluiu e ficou mais divulgada. O Origami começou a ser difundido no século VIII quando os mouros levaram essa técnica para a Espanha. Como a religião dos mouros proibia a representação de qualquer figura simbólica, estes usavam o Origami para estudarem geometria. O Origami só tornou-se popular a partir do século XVII quando os samurais utilizaram o papel dobrado para se comunicarem durante as guerras sem levantar suspeitas.
Desde o seu primeiro momento, esta a arte foi desenvolvida e passada de geração em geração verbalmente. Só muito tempo depois, finais do século XVIII, é que apareceu o primeiro livro sobre o assunto. Este livro japonês, intitulado “Hiden Senbazuru Orikata”, que traduzido quer dizer “O modo de fazer mil grupos de dez mil pássaros”, foi escrito por volta de 1797 por Akisato Rito e contém instruções detalhadas para a obtenção de diversas figuras de papel, entre animais e flores. Na tradição japonesa, o conjunto de mil origamis de pássaros simboliza a esperança e a paz.
Existem muitos símbolos construídos com o Origami e possuindo significados especiais. Um desses símbolos é o “tsuru”, símbolo representativo do Origami, e que se indica boa sorte, felicidade e saúde. Uma antiga lenda japonesa diz que se dobrarmos mil tsurus os deuses realizarão os nossos desejos mais profundos, pois segundo uma lenda, o tsuru, que representa o grou-da-manchúria (ou grou-japonês), pode viver até mil anos. O tsuru é uma ave considerada sagrada no Japão e na China. Para além do tsuru, podemos referir outros símbolos como por exemplo a tartaruga que significa longividade e o sapo que simboliza o amor e a fertilidade.
O primeiro livro da era atual sobre Origami publicado em 1954, intitulado “Atarashi Origami Geijutsu”, foi escrito por Akira Yoshizawa (14/03/1911 – 14/03/2005), considerado o “pai” do Origami moderno, visto ter desenvolvido a notação gráfica para o Origami que é usada nos dias de hoje, possibilitando assim, qualquer pessoa, de qualquer nacionalidade, poder seguir as instruções e criar as figuras desejadas. Este livro contém instruções detalhadas de como dobrar 50 diferentes figuras em papel.
Para além do Origami tradicional, há o Origami Modular, o Origami “wet”, e o Origami associado ao Kirigami (arte de cortar papel).
Hoje em dia, o Origami é bastante utilizado na aprendizagem da Matemática, sendo um modo lúdico para rapidamente conhecermos as figuras geométricas e aprender noções de medida, ângulos, proporção, frações, propriedades das figuras geométricas quer planas, quer espaciais, entre outros saberes.
O uso do Origami até parece mágico, pois com apenas uma folha de papel podemos construir figuras bidimensionais e tridimensionais.
O Origami tradicional utiliza apenas uma folha de papel quadrada. E quando não possuímos tal folha, podemos obtê-la. Para tal, basta dobrar a folha, mais ou menos ao meio, uma vez, temos um ângulo raso (180 graus), e sem abrir a folha, novamente dobramos, fazendo com que as partes retas se sobreponham, obtendo um ângulo reto (90 graus). Depois, sem abrir, dobramos novamente sobrepondo mais uma vez as partes retas, obtemos uma espécie de bico e um ângulo de 45 graus. Agora desdobramos uma vez, podemos observar no ângulo reto, uma linha reta, então, sobrepomos o vértice V sobre essa linha reta e com a tesoura cortamos ao longo das partes retas. Ao abrir a folha obtemos um quadrado. (imagem 1)
A justificativa matemática é que o quadrado possui todos os seus lados com a mesma medida de comprimento e todos os seus ângulos com a mesma amplitude de um ângulo reto. Para além de que as diagonais do quadrado são segmentos de reta, de mesmo comprimento, traçados por dois vértices não consecutivos, cuja interseção encontram no respectivo ponto médio de cada diagonal, que é o centro do quadrado. As diagonais formam também um ângulo reto entre si, cujo vértice é o centro do quadrado. Quando dobramos a folha obtemos um linha reta, o ângulo raso, e quando dobramos novamente, sobrepondo esta linha reta, dividimos o plano (papel) em quatro partes iguais, promovendo então quatro ângulos com a mesma amplitude, e devido ao facto que o ângulo giro, em torno de um vértice tem como medida da sua amplitude 360 graus, logo cada um dos quatro ângulos irá ter como medida da sua amplitude 90 graus. E assim, conseguimos obter um quadrado sem a utilização de qualquer régua ou compasso.
Também podemos, através do Origami, obter qualquer polígono regular (figuras geométrica plana que possui todos os lados com o mesmo comprimento e todos os seus ângulos internos com a mesma amplitude), ou seja, podemos construir um triângulo equilátero, utilizado em alguns módulos na construção do Origami Modular, pentágonos regulares que se transformam em estrelas de cinco pontas, entre outras figuras geométricas, quer planas, quer espaciais.
Desde figuras bidimencionais, como o exemplo do quadrado, até figuras tridimensionais, o Origami tem a mestria de construir qualquer configuração, basta criatividade e paciência. Um exemplo de uma figura tridimensional é a obtenção de um cubo, onde utilizando apenas uma folha de papel de formato quadrado e a técnica da dobragem de papel, conseguimos construí-lo seguindo os passos indicados na imagem 2. Assim, numa folha de papel quadrada, dobramos em montanha as diagonais, e dobramos em vale os segmentos que unem os pontos médios de dois lados opostos. (Dobrar em montanha significa dobrar obtendo a visualização de uma montanha, em que a dobra fica para cima, (^), e dobrar em vale, a dobra fica para baixo, (v)). Com isso obtemos um triângulo equilátero retângulo como mostra a terceira figura da imagem 2. Depois na quarta figura, na parte da frente da construção, fazemos coincidir os vértices do lado maior do triângulo, com o vértice do triângulo no seu ângulo reto, viramos toda a constução e fazemos o mesmo com a parte detrás. Feito isso, obtemos um quadrado, como pode ser visto na sétima figura na imagem 2. Considerando os vértices da diagonal deste quadrado opostos à diagonal que visualmente está delineada, juntamo-los com dobras na parte da frente e ao centro, viramos depois a construção e fazemos o mesmo com a parte detrás. Nos pares de figuras (9) e (10), (11) e (12) da imagem 2, vemos detalhes da aba superior que obtemos da construção anterior e o respetivo encaixe que as esconde. De seguida, sopramos no furo resultante de toda a construção e obtemos o cubo. Está construção pode ser utilizada pedagogicamente ou como simples adorno para qualquer festividade.
E por falar em festividade, este é o mês do carnaval. Assim, apresentamos dois origamis de fácil construção que podem ser utilizados nas comemorações desta data. Na imagem 3 temos o “chapéu do Samurai” cujo diagrama da sua execução é bem demostrativo de todos os passos a seguir. E mais facil ainda é o diagrama apresentado na imagem 4, onde temos uma “coroa” que executada com folhas quadradas de papel colorido chama muito a atenção.
Hoje em dia, para qualquer construção em Origami que desejamos, encontramos o respetivo diagrama na internet. Um excelente carnaval com muitos origamis de adorno.

Helena Sousa Melo

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