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Quadrados mágicos de ordem 3

O desenvolvimento da Matemática ao longo dos anos tem aprimorado as formas de ensino e exigido uma maior participação dos alunos. Os conteúdos estão contextualizados e exigem uma atitude voltada para o raciocínio lógico e interpretativo de diversas situações. Os jogos matemáticos surgem como uma ferramenta lúdica no intuito de despertar e aprimorar o raciocínio. De entre os diversos modelos de jogos matemáticos podemos destacar os quadrados mágicos, que contribuem de forma direta e objetiva para o desenvolvimento dos alunos. Os quadrados mágicos constituem, desde épocas remotas, um desafio que fascina a todos. Acredita-se que os chineses foram os primeiros a descobrir as propriedades dos quadrados mágicos e provavelmente foram também os seus inventores. Reza a lenda que o imperador da antiga China, chamado Yu (280 0A.C.) da dinastia Hsia, estavam editando às margens do rio Lo quando emergiu uma tartaruga-considerado um animal sagrado com estranhas marcas no casco. Yu percebeu que as marcas com a forma de nós, podiam ser transformadas em números e que todos eles somavam quinze em todas as direções, como se fossem algarismos mágicos. (Fig. 1).
Os quadrados mágicos chegaram ao ocidente através dos árabes, que os conheceram por influência da cultura hindu. O físico e teologista alemão Heinrich Cornelius Agrippa (1486-1535) construiu sete quadrados mágicos de ordens 3 a 9 e atribuiu-lhes um significado astronómico. Estes quadrados representavam simbolicamente os sete planetas conhecidos por ele, incluindo o Sol e a Lua (Mercúrio, Vénus, Marte, Júpiter, Saturno, o Sol e a Lua). Na Idade Média os quadrados mágicos eram gravados em lâminas de prata como amuleto contra a peste negra. Despertaram também interesse em alguns matemáticos pelos problemas difíceis que originavam, em relação à construção, classificação, e enumeração dos quadrados de uma dada ordem. Bernard Frénicle de Bessy (1602-1675), Claude-GasparBache (1581-1638), Pierre de Fermat (1601-1665) e Leonhard Euler (1707-1783) estudaram quadrados mágicos e cubos mágicos.

O que se entende por quadrado mágico?
Um quadrado mágico de ordem n é uma tabela de formato quadrangular formada por n ^2 números inteiros distintos, dispostos de tal forma que os números deu ma linha qualquer, de uma coluna qualquer, ou das diagonais, têm a mesma soma designada por soma (ou constante) mágica do quadrado. A ordem do quadrado mágico corresponde ao número de elementos de uma linha, uma coluna ou uma diagonal. Por exemplo, um quadrado de ordem 3contém 3 linhas e 3colunas. Por vezes os elementos utilizados na construção de um quadrado mágico d ordem 3 são os algarismos naturais de 1 a 9. Um quadrado mágico diz-se normal s e os n^2 números que o formam são o sn^2 primeiros números inteiros positivos.Verifica-se que, neste caso, a soma mágica é:
S(n)=n(n^2+1)/2.
Os quadrados mágicos podem ser classificados em três tipos – quadrados mágicos imperfeitos ou defeituosos, quadrados hipermágicos e quadrados mágicos diabólicos. Os quadrados mágicos imperfeitos ou defeituosos não obedecem a todas as regras de um quadrado mágico, por exemplo, é um quadrado mágico em que a soma de todas as linhas e todas as colunas é igual, mas a soma das diagonais já não o é. Os quadrados mágicos hipermágicos têm certas propriedades adicionais, além de obedecer às regras básicas, por exemplo, um quadrado mágico onde a troca de duas colunas de lugar forma um outro quadrado mágico. Os quadrados mágicos diabólicos são quadrados hipermágicos com muitas propriedades ou com propriedades muito complexas. A designação “diabólico” vem da dificuldade de os formar.

Propriedades dos quadrados mágicos
de ordem 3
Os quadrados mágicos de ordem 3verifica mas seguintes propriedades:
i) A soma mágica é igual ao triplo do elemento central. Seoelemento central é 5, a soma mágica do quadrado é15.
ii) A soma de todos os elementos é igual a nove vezes o elemento central. Se o elemento central é 5, a soma dos elementos é 45.
iii) A soma dos elementos dos quatro cantos é igual a quatro vezes o elemento central. Se o elemento central é 5, a soma dos elementos dos quatro cantos é 20.
iv) A soma dos dois elementos extremos de um alinhamento que passa pelo centro é igual ao dobro do elemento central. Se o elemento central é 5,a soma dos dois elementos é 10.

Construção de quadrados mágicos
de ordem 3 a partir de um número
É possível construir uma infinidade de quadrados mágicos de ordem 3 a partir um número qualquer. Toma-se, por exemplo, o número 10 e coloca-se ao centro. Sobre cada uma das duas diagonais, escreve-se dois números dos quais a soma é o dobro do número escolhido, ou seja, 20. A posição dos cinco primeiros números é: 5, 12, 10, 8, 15 e pode ser vista na Fig. 2. Completam-se as casas vazias de modo que a soma mágica seja 30.
Construção de quadrados mágicos de ordem 3 a partir de dois números
É possível construir vários quadrados mágicos de ordem 3 a partir de dois números. Consideremos por exemplo, os números 10 e 16.
1º caso: Colocam-se os números nas extremidades de uma fila (linha ou coluna) que passa pelo centro. Como a soma dos dois números é 26, o elemento que se encontra na posição central é igual a 13. A soma mágica é 39. Completa-se a primeira linha, por exemplo, com 8 e 21, a seguir completam-se as diagonais e depois as duas colunas. Temos: 8, 10, 21, 24, 13, 0, 5, 16 e 18 (Fig. 3)
2º caso: Colocam-se os números nas extremidades de uma linha que não passe pelo centro. Considera-se um elemento central, por exemplo 11. Senão pretendermos ter elementos negativos, devem os escolher o valor do elemento central entre os dois números dados. Tem-se 10, 11, 16. Completam-se então cada uma das diagonais e tem-se o quadrado mágico: 6, 17, 10, 15, 11, 7, 12, 5 e 16 (Fig.4).

Generalizando, construção de um
quadrado mágico de ordem 3
a partir de um número a
As etapas são:

  • coloca-se o ac omo elemento central do quadrado; a soma mágica é então 3a.
  • escolhem-se dois números inteiros positivos, b e c, ambos menores do que a, de forma que b+c<a. Esta condição é necessária para qu enão tenhamos inteiros negativos no quadrado mágico;
  • completa-se uma diagonal com (a+b)e(a−b);
  • completa-se a outra diagonal com (a+c)e(a−c);
  • por último, completa-se cada linha para termos 3 a como soma mágica. Obtém-se assim o quadrado mágico: a+b, a-b-c, a+c, a-b+c, a, a+b-c, a-c, a+b+c e a-b; ou então o quadrado: a-b, a+b-c, a+c, a+b+c, a, a-b-c, a-c, a-b+c e a+b. (Fig. 5)

Caro leitor, divirta-se a construir quadrados mágicos e surpreenda os seus amigos.

Paulo Medeiros

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