A operação de multiplicação é uma das quatro operações elementares na Aritmética. Na verdade, esta operação é o resumo da operação de adição se as parcelas forem todas iguais, pois se tivermos a adição de cinco parcelas todas iguais a 23, ou seja, 23+23+23+23+23, podemos expressar pelo produto 5 x 23, em que o primeiro termo, ou fator, é denominado “multiplicador” e indica quantas vezes a parcela aparece na adição, e o segundo fator, designado “multiplicando” é o valor da parcela que se repete. Por outras palavras, a operação de multiplicação é uma forma simples de adicionarmos uma quantidade finita de números iguais. O resultado de uma adição é denominado de soma, ou total, e na multiplicação é designado de produto final, divido ao facto que ao efetuarmos a operação de multiplicação podemos obter produtos parciais que depois são adicionados, resultando então no produto final.
Para a operação de multiplicação é fundamental o conhecimento das tabuadas de multiplicar desde do 2 ao 9, pois são os algarismos envolvidos nos numerais do multiplicador e do multiplicando, para além do 0 e do 1, cujas tabuadas são percetíveis. Na imagem 1 apresentamos a operação de multiplicação entre dois números decimais, utilizando o respetivo algoritmo na vertical, efetuando 103,5 x 247,354. Alertamos para a colocação dos algarismos, pois ao contrário da operação de adição, não posicionamos vírgula abaixo de vírgula. Para além disso, como o primeiro termo da multiplicação é o multiplicador, este fica ao lado do sinal da operação (x). Também não efetuamos a multiplicação por zero, apenas colocamos um zero no alinhamento vertical do zero do multiplicador e continuamos na mesma linha, para a esquerda, a multiplicação do número seguinte, que neste caso é o algarismo 1. Uma outra observação está relacionada com a não colocação da vírgula nos produtos parciais, mas sim no produto final, cujo número de casas decimais será igual à soma do número de casas do multiplicador e do multiplicado, ou seja, neste caso, 1+3 = 4.
A palavra multiplicação vem do latim “multiplicativo” que significa “ato de aumentar”, e/ou de “multus”, que quer dizer “muitos”. Na história tivemos vários sinais para esta operação, sendo dois deles os mais usados. Temos o sinal “x” introduzido pela primeira vez, em 1631, pelo matemático inglês William Oughtred (1574-1660) no livro de Aritmética e Álgebra intitulado Clavis Matematicae. Segundo Florian Cajori (1859-1930) o “x” representa também a cruz de Santo André. Em 1698, o matemático alemão Gottfried W. Leibniz (1646-1716), em uma carta para John Bernoulli, introduziu o ponto a meia altura, ( · ) para representar a multiplicação, sendo como motivo evitar as confusões em expressões algébricas que utilizam a letra “x” para representar as variáveis. É de salientar que o matemático e astrónomo inglês Thomas Harriot (1560-1621), anos antes, já tinha o hábito de utilizar o ponto para esta operação, não sendo dado naquela altura o devido destaque até ao momento em que Leibniz a usou. Temos também o asterisco “*” criado pelo matemático suíço Johann H. Rahn (1622-1676) e utilizado no seu livro de 1659 intitulado Teutsche Algebra. Hoje em dia, ainda utilizamos esse símbolo para denotar a multiplicação em certas linguagens de programação. Por curiosidade, também Rahn introduziu, no mesmo livro, o sinal “÷”, um traço no meio de dois pontos verticais, para a operação de divisão. O matemático francês René Descartes (1596-1650) limitava-se apenas a escrever os fatores de uma multiplicação justapostos. No entanto, segundo Cajori, foi encontrado num manuscrito na Índia datado do século VIII, ou IX, ou X, a operação de multiplicação representada por número colocados lado a lado. Esta notação também foi utilizada no século XV pelo matemático islâmico-espanhol Al-Qalasadi (1412-1486). E em 1544, o matemático alemão Michael Stifel (1487-1567) usou a multiplicação por justaposição em seu trabalho Arithmetica Integra, tornando-a a utilizar numa publicação em 1553.
Ao longo da história deparamos com vários modos de efetuar a operação de multiplicação os quais depende do sistema de numeração utilizado. Iniciemos nossa digressão no antigo Egito. O sistema de numeração deste povo era aditivo decimal, onde utilizavam sete símbolos para expressar uma quantidade. Uma unidade era representada por um bastão, uma dezena por um arco curvado de abertura para baixo, uma centena por uma corda enrolada, mil por uma flor de lótus, dez mil por um dedo na vertical e de ponta dobrada, cem mil por um girino, e o milhão por um homem ajoelhado com os braços curvados na altura da cabeça. Assim, a representação de uma quantidade era feita através da repetição de símbolos, por exemplo, 423 era expresso por 4 cordas, 2 arcos e 3 bastões, quer escrito da direita para a esquerda, quer da esquerda para a direita. A operação de multiplicação neste povo era feita pela duplicação do fator principal, o multiplicando, colocando-a em uma coluna e indexada por outra coluna em que a soma das parcelas teria que ser igual ao valor do multiplicador. Assim, por adição dos valores na coluna do fator principal correspondentes a cada valor na coluna da indexação que foi considerada para terem, como soma, o multiplicador, obtinham o respetivo produto. A imagem 2 exemplifica esta multiplicação calculando o produto de 26 (multiplicador) por 146 (multiplicando), obtendo 3822 = 2352+1176+294 (soma dos valores da segunda coluna), pois 26 = 16+8+2 (soma dos valores da primeira coluna).
Para o povo da mesopotâmia, entre os rios Tigre e Eufrates, o sistema de numeração era posicional sexagesimal (base 60), e utilizavam para a sua representação numérica, apenas dois símbolos, para representar os seus algarismos de 1 até 59. Esses símbolos eram uma cunha vertical para as unidades e a cunha horizontal para as dezenas, pois a sua escrita era cuneiforme. Para o zero tinha um símbolo especial, que era duas cunhas colocadas obliquamente inclinadas para a direita. Por exemplo, o algarismo 34 era representado por três cunhas horizontais e quatro cunhas verticais. Por não haver especificamente valores partidos, a multiplicação de 64,53 por 12,8 (na base decimal) não era mais complexa do que a efetuada entre os inteiros 6453 e 128 (na base decimal), evidentemente resolvida na base 60, ou seja, 6453, segundo a notação de O. Neugebauer, em babilónio é expresso por 1,47,33, pois 1×60^2 + 47×60 + 33 = 6453 e 128, expresso então por 2,8. Assim, nesse povo, 1,47,33 x 2,8 resulta em 3,49,26,24 na base 60. Transcrevendo este resultado para a base decimal temos 3×60^3 + 49×60^2+ 26×60 + 24 = 648000 + 176400 + 1560 + 24 = 825984, ou seja, 6453 x 128 = 825984. A imagem 3 apresenta o algoritmo resolvido no sistema de numeração posicional sexagesimal.
Já na Índia, cujo sistema de numeração é posicional decimal, as operações de adição e de multiplicação eram efetuadas de maneira muito similar a de hoje. No entanto, para a multiplicação utilizavam um esquema reticulado denominado “multiplicação em gelosia”, ou em grade, onde o cálculo dos produtos entre os algarismos do multiplicando e do multiplicador era feito individualmente e depois adicionados por ordem. Assim, neste modo, o multiplicando era escrito acima do reticulado e o multiplicador aparecia à esquerda ou à direita, com os respetivos produtos ocupando as células quadradas interiores, na interseção da coluna do algarismo do multiplicando com a linha do algarismo do multiplicador. Essas células eram subdivididas pelas respetivas diagonais, na mesma direção, em duas. Após a grade preenchida, os dígitos nas fileiras diagonais eram adicionados e o produto aparece abaixo à direita, ou à esquerda e abaixo, respetivamente, de acordo com a escrita do multiplicador. A imagem 4 apresenta um exemplo da multiplicação do multiplicando 456 pelo multiplicador 34, em cada uma das posições do multiplicador, onde na imagem 4a o multiplicador está à esquerda e na imagem 4b está à direita, cujo produto é 15504.
Historicamente não temos conhecimento de quando a multiplicação pelo método da gelosia apareceu. No entanto, presumem que a fonte mais provável tenha sido realmente a Índia desde o século XII e que depois levado à China e à Arábia. Dos árabes passou para a Itália nos séculos XIV e XV sendo neste país a atribuição do nome gelosia, uma vez que este modo de multiplicar se assemelhava com os gradeados colocados nas frentes das janelas em Veneza e em outros lugares.
Por último, temos um modo de multiplicar que ficou popularizado como o método dos colonos russos para a multiplicação, este método é baseado na duplicação utilizada pelo antigo povo egípcio. Não sabemos a veracidade desta designação, mas devido ao seu processo curioso fazemos a apresentação deste método na imagem 5. Para tal consideramos a multiplicação de 1245 por 35 e escolhemos o fator que será dividido por dois, que será colocado numa primeira coluna, e o fator que será duplicado, colocando-o numa segunda coluna. Neste caso será escolhido 1245 para a referida duplicação, pois convém sempre escolher o menor número para fazermos a divisão por dois, visto que a operação de divisão inteira é finita, quanto menor for o número considerado, menor será o número de linhas nesse método. Nesse processo, quando o dividendo for um número ímpar, subtraímos uma unidade, o número torna-se par, e ao efetuar a divisão por dois esta será exata e o quociente será um número par ou impar, se for par, dividimos novamente para obter o quociente e se for impar, subtraímos uma unidade como anteriormente. Por exemplo, 9 é um número impar, então iremos efetuar 8 dividido por 2 que resulta em 4, neste caso um número par. Paramos todo o procedimento após obtermos o dígito 1 na primeira coluna em que houve sempre a divisão por dois e, na segunda coluna, em que houve as duplicação. Para obter o produto em questão, adicionamos os valores da segunda coluna correspondentes aos números ímpares da primeira coluna. Assim, no exemplo considerado, temos os números impares, 35, 17 e 1, cujos valores correspondentes na segunda coluna são 1245, 2490 e 39840, cuja soma é 43575, o produto de 35 x 1245.
Estes são apenas alguns dos processos, modos ou métodos, para a operação de multiplicação. Em quase todos os existentes, com exceção dos sistemas numéricos aditivos, é imprescindível o conhecimento das tabuadas de multiplicação e do conhecimento do número nas suas várias formas de expressão, ou seja, por exemplo, o número 7 pode ser expresso pela adição entre 3 e 4, ou pela adição de 1, 2 e 4, ou pela subtração entre o produto de 2 x 4 e o número 1, ou 2^2 + 3, etc.. Votos de boas multiplicações!
Helena Sousa Melo
