Para realizar um estudo completo sobre as origens, desenvolvimento e consequências do Cálculo, seria necessária uma pesquisa muito extensa cujo resultado iria ser, sem dúvida, um texto longo que ultrapassaria o propósito deste artigo. O objetivo deste artigo é o de dar uma apresentação geral, que contenha alguns factos importantes, relacionados com a construção desta poderosa ferramenta da Matemática – o Cálculo. Esta construção é o resultado de diversas contribuições de muitas personagens, como ocorre, de modo geral, com o conhecimento humano. As contribuições dos matemáticos para o nascimento do Cálculo são inúmeras. Muitos deles, mesmo que de forma imprecisa ou não rigorosa, já utilizavam conceitos do Cálculo para resolver vários problemas – por exemplo, Cavalieri, Barrow, Fermat e Kepler.
Nesta altura ainda não havia uma sistematização, no sentido de uma construção estruturada de forma lógica. A união das partes conhecidas e utilizadas até então, aliada ao desenvolvimento e aperfeiçoamento das técnicas, aconteceu com Newton e Leibniz que deram origem aos fundamentos mais importantes do Cálculo – as Derivadas e os Integrais.
O Cálculo pode ser dividido em duas grandes áreas: uma relacionada com as derivadas – Cálculo Diferencial, e outra relacionada com os integrais – Cálculo Integral. Os primeiros problemas que surgiram na História relacionados com os integrais são os problemas de quadratura. Um dos problemas mais antigos enfrentados pelos gregos foi o da medição de superfícies a fim de calcularas suas áreas. Quando os antigos geómetras começaram a estudar as áreas de figuras planas, relacionavam-nas com a área do quadrado, por ser esta a figura plana mais simples. Assim, tentavam encontrar um quadrado que tivesse área igual à da figura em questão. A palavra quadratura é um termo antigo que se tornou sinónimo do processo de determinação de áreas. Quadraturas que fascinavam os geómetras eram as de figuras curvilíneas, como o círculo, ou figuras limitadas por arcos de outras curvas.
As lúnulas – regiões que se assemelham à lua em quarto-crescente – foram estudadas por Hipócrates de Chios, 440 a.C., que realizou as primeiras quadraturas da História. Antifon, por volta de 430 a.C., procurou encontrar a quadratura do círculo através de uma sequência infinita de polígonos regulares inscritos: primeiro um quadrado, depois um octógono, em seguida um hexadecágono, e assim sucessivamente. Havia, entretanto, um problema: esta sequência não tinha fim. Apesar disso, foi uma ideia genial que deu origem ao método da exaustão. Uma das maiores contribuições gregas para o Cálculo, surgiu por volta do ano 225 a.C.
Trata-se de um teorema de Arquimedes para a quadratura da parábola. Arquimedes descobriu que a área da região limitada por uma parábola cortada por uma corda qualquer, é igual a 4/3 da área do triângulo que tem a mesma altura e que tem a corda como base.
Arquimedes gerou também uma soma com infinitos termos, e conseguiu provar rigorosamente o seu resultado. Este é o primeiro exemplo conhecido de soma infinita que foi resolvido. Outra contribuição de Arquimedes foi a utilização do método da exaustão para encontrar a área do círculo, obtendo uma das primeiras aproximações para o número pi.
Outros cálculos foram realizados por Arquimedes a fim de calcular o volume da esfera e a área da superfície esférica, o volume do cone e a área da superfície cónica, a área da região limitada por uma elipse, o volume de um paraboloide de revolução e o volume de um hiperboloide de revolução.
As contribuições significativas seguintes para o Cálculo Integral surgiram apenas no final do século XVI, quando a Mecânica obrigou vários matemáticos a examinar problemas relacionados com o centro de gravidade. Em 1606, em Roma, Luca Valerio publicou “Quadratura parábola e per simplex falsum” onde utilizou o método grego para resolver problemas de cálculo de áreas. Kepler, no seu trabalho sobre o movimento dos planetas, teve de encontrar as áreas de vários setores de uma região elíptica. O método de Kepler consistia em pensar na superfície como a soma de linhas – método este que, na prática, apresentava muitas imprecisões. Analogamente, para calcular volumes de sólidos, pensava na soma de “fatias” planas. Deste modo, calculou os volumes de muitos sólidos, formados pela revolução de uma região bidimensional em redor de um eixo. Para o cálculo de cada um desses volumes, Kepler subdividia o sólido em várias “fatias”, chamadas infinitésimos, e a soma destes infinitésimos dava uma aproximação do volume desejado.
O problema do movimento era uma questão em estudo desde a época de Galileo. Tanto Torricelli como Barrow consideraram o problema do movimento com velocidades variadas. A derivada da distância era a velocidade e a operação inversa, partindo da velocidade, conduzia à distância.
A partir deste problema envolvendo movimento, a ideia de operação inversa da derivada desenvolveu-se naturalmente e a ideia de que o integral e a derivada eram processos inversos era familiar a Barrow. Embora Barrow nunca tenha enunciado formalmente o Teorema Fundamental do Cálculo, os seus trabalhos sempre se desenvolveram neste sentido. Foi Newton, entretanto, quem, formulou o teorema.Newton continuou os trabalhos de Barrow e Galileo sobre o estudo do movimento dos corpos e desenvolveu o Cálculo aproximadamente dez anos antes de Leibniz. Desenvolveu os métodos das fluxions – derivação – e fluents – integração – e utilizou-os na construção da mecânica clássica.
Para Newton, a integração consistia em achar fluents para um dado fluxion considerando, desta forma, a integração como a operação inversa da derivação. Com efeito, Newton sabia que a derivada da velocidade era a aceleração e que o integral da aceleração era a velocidade. Newton representava os integrais por um acento grave acima da letra em questão, por exemplo, o integral de y era representado por `y. Leibniz, ao contrário de Newton, usava a integração como uma soma, de uma forma bastante parecida à de Cavalieri. Daí vem o símbolo – um ‘s’ longo – para representar summa.
Ambos desenvolveram o Cálculo Integral separadamente, entretanto Newton via o Cálculo como geométrico, enquanto Leibniz o via mais como analítico. Leibiniz acreditava que a notação tinha uma importância fundamental e, de facto, a sua notação foi mais eficaz do que a de Newton e acabou por se consolidar, sendo utilizada até os dias de hoje.Na mesma época da publicação das tabelas de integrais de Newton, Johann Bernoulli descobriu processos sistemáticos para integrar todas as funções racionais – método das frações parciais. Estas ideias foram resumidas por Leonard Euler, na sua obra sobre integrais.Após o estabelecimento do Cálculo, Euler daria continuidade ao estudo de funções – ainda prematuro na época – juntamente com Cauchy, Gauss e Riemann.
Hoje em dia, o Cálculo Integral é largamente utilizado em várias áreas do conhecimento humano e aplicado para a resolução de problemas não só de Matemática, mas de Física, Astronomia, Economia, Engenharia, Medicina, e Química.
Paulo Medeiros
