Tudo em que pensamos tem, em princípio, duas possibilidades: ocorrer ou não. Entramos no mundo das probabilidades. A palavra probabilidade advém do termo em latim “probare” que significa provar ou testar, também substituída pelas palavras sorte, ou azar, ou risco, entre outras que querem designar algo incerto.
O estudo da probabilidade é relativamente moderno apesar do interesse em termos informações mais precisas sobre a probabilidade existir por muito tempo, mesmo antes da primeira investigação sobre probabilidades realizado pelo matemático, físico, filósofo, músico italiano GirolamoCardano (1501 – 1576), na sua obra “Liber de Ludo Aleae”, iniciada em 1526 e concluída em 1563, onde faz um estudo sobre o jogo de dados, sendo o primeiro matemático a expressar as primeiras regras da teoria das probabilidades.
Desde a antiguidade, os egípcios, os babilónios, os gregos e os romanos, há evidências de jogos que envolvem o acaso, a probabilidade de ocorrer determinado acontecimento. Os primeiros dados conhecidos datam de cerca de 3500 a.C..
No estudo da teoria das probabilidades seguem-se os matemáticos Pierre de Fermat (1607 – 1665), Blaise Pascal (1623 – 1662), Christiaan Huygens (1629 – 1695), Jacob Bernoulli (1654 – 1705), Abraham de Moivre (1667 – 1754), Daniel Bernouli (1700 – 1782), Pierre-Simon Laplace (1749 – 1827), entre outros, que trataram esse tema como um ramo da Matemática.
Em paralelo com a teoria das probabilidade temos a teoria dos erros desenvolvida pelo matemático inglês Roger Cotes (1682 – 1716) e com alguns contributos de outro matemático inglês Thomas Simpson (1710 – 1761), que foi o primeiro a aplicar a teoria da discussão de erros observação onde estabelece o axioma que são igualmente prováveis os erros positivos e negativos.
Muitos outros matemáticos renderam-se a essa temática, tais como: Johann Gauss (1777 – 1855) com o desenvolvimento do “método dos mínimos quadrados”, descrito aos seus 18 anos; Adrien-Marie Legendre (1752 – 1833), que contribuiu para o método dos mínimos quadrados; Robert Adrain (1775 – 1843) que deduziu a lei da facilidade do erro; John Herschel (1792 – 1871); James Ivory (1765 – 1842); Friedrich Bessel (1784 – 1846); Silvestre Lacroix (1765 – 1843); Adolphe Quételet (1796 – 1874); Richard Dedeking (1831 – 1916); Hermann Laurent (1841 – 1908); Augustus De Morgan (1806 – 1871); George Boole (1815 – 1864), entre muitos outros.
Existe um número de regras matemática onde podemos prever a probabilidade de ocorrer determinadas situações, bem como outros procedimentos como a teoria de Dempster-Shafer, desenvolvida aproximadamente entre 1967 e 1976, é uma teoria que permite combinar as evidências de várias origens e chegar a uma certa credibilidade e conhecida também como “teoria da evidência” ou “teoria das funções de crença”, e a Lógica Difusa, conhecida desde 1920, é uma lógica multivalorada no qual os valores verdade de uma variável podem ser qualquer número real entre o 0 e 1, sendo o 0 atribuído ao valor falso e o 1 ao valor verdadeiro, associada ao conceito de verdade parcial. Ambas, apesar de diferentes, são compatíveis com as leis da probabilidade.
Após uma introdução história vamos definir o conceito central de probabilidade. Observamos que se num experimento obtivermos resultados diferentes, estes são chamamos de aleatório, caso os resultados sejam iguais, designamos então de determinístico. Assim, a probabilidade é o estudo de experimentos aleatórios e não determinísticos, cuja diferença consiste nos resultados obtidos quando repetimos inúmeras vezes um determinado experimento. Para este estudo necessitamos das técnicas da Análise Combinatória, ou seja, dos princípios fundamentais de contagem, da noção de fatorial, dos diagramas em árvore, dos conceitos de permutação, permutação com repetição, arranjos, arranjos com repetição, combinações, espaços amostrais, amostras ordenadas, amostragem com ou sem repetições, eventos, etc..
Como vimos, historicamente a teoria das probabilidades iniciou com os estudos dos jogos de azar, tais como, os dados, as cartas e a roleta. Assim, a probabilidade, p– indicada por P(A), de um evento, A, poder ocorrer de “s” maneiras diferentes entre um total de “n” maneiras igualmente prováveis é igual ao coeficiente entre s e n. Por exemplo, ao lançarmos um dado, a probabilidade de ocorrer o número 3 (valor de “s”), entre um total de 6 maneiras igualmente prováveis, é igual a 1/6, visto que temos 6 faces num dado e cada uma com os números de 1 a 6, já a probabilidade de termos um número par é de 1/2, pois existem três números pares entre 1 e 6. Em termos matemáticos, existe um conjunto S = {1,2,3,4,5,6} de todos os resultados possíveis do experimento, S é o espaço amostral. Um dos elementos de S é denominado ponto amostral. Um eventoA é um conjunto de resultados que corresponde a um subconjunto do espaço amostralS. No caso de um evento ser impossível, denotamo-lo pelo conjunto vazio, e se o evento é certo, temos o próprio conjunto S. Como sabemos, o conjunto vazio e o conjunto S são ambos subconjuntos impróprios do conjunto S, os demais subconjuntos são denominados de subconjuntos próprios. Assim, no segundo exemplo do dado em que referimos aos números pares, o evento A = {2,4,6}, ocorrendo P(A) = 1/2.
Como base da teoria das probabilidades temos que se “S” for o espaço amostral, “E” a classe de eventos e“P”a função de valor real definida em E, então P é nomeada a função de probabilidade e P(A) é denominada de probabilidade do evento A se valerem os seguintes axiomas: (P1) Para todo evento A, 0 é menor ou igual a P(A) que é menor ou igual a 1; (P2) P(S) = 1; (P3) Se A e B são eventos mutuamente exclusivos, isto é, não existem simultaneamente, então a probabilidade de ocorrer a união destes, P(A U B), é igual à soma das probabilidade de cada um, isto é, P(A U B) = P(A) + P(B); (P4) Se A1,A2,A3,A4, … são eventos mutuamente exclusivos, então P(A1 UA2 UA3UA4U …) = P(A1) + P(A2)+ P(A3)+ P(A4)+ … .Observamos que este último não é a generalização de (P3) e se demonstra através do Princípio de Indução Matemático.
Se o espaço amostral é finito, a probabilidade de qualquer evento é definida como a soma das probabilidades dos pontos desse evento. Por exemplo, no lançamento ao mesmo tempo de três moedas onde são observadas o número de caras ocorrido. Assim S = {0,1,2,3}, visto que pode não sair caras, uma cara de duas coroas, duas caras e uma coroa ou três caras. O espaço de probabilidades associado é constituído por P(0) = 1/8 P(1) = 3/8, P(2) = 3/8 e P(3) = 1/8, uma vez que a probabilidade não é negativa e a sua soma é igual a 1. Justificamos que P(0) = 1/8 e P(3) = 1/8, pois só há uma possibilidade deste facto ocorrer, e que P(1) = 3/8 e P(2) = 3/8, no caso de aparecer, uma cara (uma coroa) na primeira moeda, ou uma cara (uma coroa) na segunda moeda, ou uma cara (uma coroa) na terceira moeda, temos assim três possibilidades do facto ocorrer. Se considerar como evento A o caso em que pelo menos uma cara aparece, temos que A = {1,2,3}. Assim, P(A) = P(1) + P(2) + P(3) = 3/8 + 3/8 + 1/8 = 7/8. Se considerar como evento B o caso em que aparece todas as caras ou todas as coroas, temos que B = {3,0}. Assim, P(B) = P(3) + P(0) = 1/8 + 1/8 = 1/4.
Pode ocorrer que a caraterística de um experimento indique que aos vários resultados do espaço amostral seja associado probabilidades de valor igual. Esse espaço de probabilidades se finito, em que cada ponto amostral tem a mesma probabilidade é denominado Espaço Equiprovável ou Uniforme. Assim, se o conjunto possuir n pontos, a probabilidade de cada um é igual a 1/n, e consequentemente, se um evento A contiver t pontos, a sua probabilidade será P(A) = t/n.
Consideremos então num espaço finito equiprovável um conjunto de dez cartas marcas com os números de 1 até10. A probabilidade da soma de duas cartas ser ímpar quando retiradas ao mesmo tempo é igual 5/9, pois há 45 maneiras de selecionar duas cartas entre 10, que corresponde ao cálculo da combinação de dez cartas duas a duas, ou seja, o quociente entre 10! (dez fatorial) e o produto de 8! (oito fatorial) por 2! (dois fatorial), onde 10! = 10x9x8x7x6x5x4x3x2x1, 8! = 8x7x6x5x4x3x2x1 e 2! = 2×1, isto é, 10!/(8!x2!) = (10×9)/(2×1) = 45. Por outro lado, há 5 números pares e 5 números ímpares, onde a soma de uma número par com um número ímpar é igual a um número ímpar, logo há 5×5 = 25 maneiras de escolher um número par e outro ímpar. Então a probabilidade é 25/45 = 5/9. Se queremos saber a probabilidade da soma de duas cartas ser ímpar quando retiradas uma após a outra, está será então também igual 5/9 mas por outros motivos, visto que há 90 maneiras de retirar duas cartas uma após a outras, pois primeiro tenho dez possibilidades e depois nove possibilidades, visto que já foi retirada uma carta, ou seja, 10×9 modos. Novamente há 5 números pares e 5 números ímpares, onde a soma de uma número par com um número ímpar é igual a um número ímpar, logo há 5×5 = 25 maneiras de escolher um número par e outro ímpar, então temos a probabilidade 25/90 para retirar uma carta par ou ímpar e depois mais a probabilidade 25/90 para retirar outra carta ímpar ou par, ou seja, 25/90 + 25/90 = 50/90 = 5/9. Se por último queremos saber a probabilidade da soma de duas cartas ser impar quando retiramos uma, depois a repomos, mantendo as dez cartas, e retiramos outras carta, está será então igual 1/2, visto que há 100 maneiras de retirar as duas cartas, uma vez que há sempre um total de dez cartas para a escolhas, resultante de 10×10. Novamente há 5 números pares e 5 números ímpares, onde a soma de uma número par com um número ímpar é igual a um número ímpar, logo há 5×5 = 25 maneiras de escolher um número par e outro ímpar, então temos a probabilidade 25/90 para retirar uma carta par ou ímpar e depois mais a probabilidade 25/90 para retirar outra carta ímpar ou par, ou seja, 25/100 + 25/100 = 50/100 = 1/2.
Nesse mundo de escolhas e recolhas, há uma vastidão de possibilidades e consequentemente de probabilidades. Por exemplo, há a probabilidade condicional, em que um evento A ocorre após outro evento E ter ocorrido, considerando o mesmo espaço amostral. Nesse caso, a probabilidade condicionada,P(A|E), é definida como sendo o quociente entre o número de maneiras nas quais os eventos A e E ocorrerem em simultâneo e o número de maneiras em que o evento Epode ocorrer. Consideremos o ato de lançar um par de dados em que se a soma for igual a 6 e querer saber qual a probabilidade de ter ocorrido a face 2 em um dado. Nesse caso temos E = {(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)} e A = {aparecer o 2 em um dos dados}. Assim, P(A|E) = 2/5, pois o subconjunto E é constituído por 5 elementos e dois deles, (2,4) 3 (4,2), pertencem ao subconjunto A.
Terminamos esta pequena inserção no reino das probabilidades convidando o leitor a explorar esse mundo encantado de fórmulas e resultados úteis para o nosso cotidiano.
Helena Sousa Melo
