A Mecânica dos Meios Contínuos é a disciplina da Física que lida com materiais extensos, por oposição ao estudo do movimento de partículas pontuais. Este último é familiar a quase todos leitores das aulas de Física no Ensino Secundário, onde as leis de Newton são aplicadas para descrever o movimento do centro de massa dum objecto. Mas, para descrever a dinâmica dum objecto macroscópico que não seja rígido, seria impossível aplicar diretamente as leis de Newton a cada um dos seus constituintes, sejam eles moléculas, átomos ou núcleos e electrões, visto que o número de constituintes da matéria macroscópica é da ordem do número de Avogadro, que vale cerca de 1 quatrilião (10^24) – e resolver sistemas com 1 quatrilião de equações não é viável!
Por isso, a matéria é aproximada por um contínuo, descrito apenas por propriedades médias, como a densidade, pressão, etc. – no fundo, precisamente a forma como nós a entendemos. O entendimento sensorial que temos, por exemplo, da água é o de um contínuo e não de uma colecção de moléculas. A Mecânica dos Meios Contínuos divide-se primariamente em duas disciplinas secundárias: A Mecânica dos sólidos, para meios que têm uma forma definida em repouso, e a Mecânica dos Fluidos, para aqueles que não a têm. Em ambos os casos, tratando-se de meios contínuos, as equações diferenciais ordinárias que regem o movimento de cada partícula, no caso das leis de Newton, convertem-se em equações diferenciais parciais, porque as variáveis relevantes passam a ter uma dependência tanto no tempo como no espaço.
No caso da Mecânica dos Fluidos, a sua dinâmica é descrita por um sistema de equações diferenciais parciais, que pode ser obtido a partir das leis de conservação da massa, energia e momento linear, conhecido como as equações de Navier-Stokes. Estas equações, num total de 5, contêm 6 variáveis (a velocidade do fluido, a sua pressão, densidade e temperatura), pelo que têm que ser suplementadas por uma equação de estado (por exemplo, a equação dos gases). São difíceis de resolver, sendo usadas analiticamente apenas em situações simples, e sendo, na maior parte dos casos, resolvidas numericamente. Neste artigo não serão utilizadas; vamos apenas debruçar-nos sobre dois resultados simplificados que permitem já retirar bastante informação acerca do comportamento dos fluidos.
Hidrostática
Uma das situações em que o estudo dos fluidos simplifica muito é o caso estático, quando não há movimento. Para um fluido em repouso sob a ação da gravidade, obtém-se uma relação útil para a diferença de pressão ∆p entre dois pontos separados pela diferença de altura ∆h (medida para baixo), dependente da densidade do fluido ρ e da aceleração da gravidade, a equação da pressão hidrostática:
∆p = ρ g ∆h .
É através desta equação que sabemos que, no mar, por cada 10 m de descida a pressão aumenta 1 atm, pois ρ = 1000, g = 10 e ∆h = 10, logo ∆p = 10000 Pa = 1 atm. É também esta equação que permite interpretar o barómetro de mercúrio (figura 1). Este instrumento consiste num tubo cheio de mercúrio, que é invertido sobre um prato. O mercúrio vai vazando sobre o prato e formando-se vácuo em cima, até que a diferença de altura entre a superfície do mercúrio no interior do tubo e no prato iguale, pela equação (1), a pressão atmosférica dividida pelo produto da densidade do mercúrio pela aceleração da gravidade. Desta forma, a altura do mercúrio fornece uma escala linear para a pressão atmosférica. À pressão atmosférica média, a altura do mercúrio é de 760 mm (o leitor pode verifica-lo, sabendo que a densidade do mercúrio é de 13,6 kg/l), pelo que o tubo do barómetro deve ter uma altura de pelo menos 800 mm.
Hidrodinâmica
As situações dinâmicas são mais complicadas mas, mesmo neste caso, é possível derivar uma relação semelhante que generaliza o caso estático, a equação de Bernoulli,
p + ρ g h + ρ v^2 / 2 = constante ,
agora com a altura h medida para cima. Embora esta relação não nos permita resolver a cinemática do problema, ela permite comparar valores entre pontos diferentes do fluido. Em particular, conhecendo o valor da velocidade em dois pontos dum fluido, podemos calcular a diferença de pressão entre esses dois pontos, o que se torna útil para explicar e para prever uma série de fenómenos, como os que descrevemos a seguir.
Afunilamento dum tubo
Quando um fluido escorre por um tubo horizontal (h1 = h2) que afunila duma secção A1 para uma secção A2 (figura 2), a equação de Bernoulli, juntamente com a equação de conservação do caudal, A1 v1 = A2 v2, permite calcular a variação da pressão,
∆p = ρ v1^2 [1 – (A1/ A2)^2] /2 .
Note-se que, se A1 > A2, a pressão é menor no lado 2.
Velocidade da água
que sai dum furo num barril
Quando há um furo num barril (figura 3), a pressão à saída do furo (ponto 2) é, tal como no topo do barril (ponto 1), a pressão atmosférica. Então, p1 = p2, e como v1 = 0 no topo do barril, resulta da equação de Bernouilli
v2 = raizq (2 g ∆h) .
Repare-se que esta é precisamente a velocidade que um objecto sólido adquire ao cair da altura ∆h.
Chaminés
Aplicando a equação de Bernoulli a uma lareira (ponto 1) e ao topo da sua chaminé (ponto 2), obtemos (figura 4)
∆p = p1 – p2 = ρ2 (g h2 + v2^2 /2) – ρ1 (g h1 + v1^2 /2) .
Devido à densidade do ar junto à lareira ser menor (o ar quente dilata), a diferença de pressão ∆p torna-se maior do que seria se a lareira estivesse apagada, o que ajuda a empurrar o fumo para cima (o ar quente sobe). Mas essa diferença é ainda maior se a velocidade v2 no topo da chaminé for grande. E como a velocidade do ar aumenta com a altitude, uma lareira puxa o ar tanto melhor quanto mais alta for a chaminé. É também essa a razão porque o topo duma chaminé deve sempre ficar acima da cumeeira do telhado. Caso contrário, só o aquecimento do ar o faz subir, o que pode não ser suficiente para a tiragem desejada para a lareira.
Livres diretos e cantos
Quem gosta de futebol já viu, com certeza, que, na marcação dum livre directo, a bola faz um arco, não somente na vertical (evidentemente, devido à força da gravidade), mas também na horizontal (figura 5)! A este fenómeno chama-se o efeito Magnus. Acontece que, devido à viscosidade, a rotação da bola tende a arrastar o ar à sua volta, fazendo com que a velocidade do ar relativamente à bola se torne maior no lado da bola que, ao longo da rotação vai para trás, e menor no lado que vai para a frente (figura 6). Desta forma, e novamente pela equação de Bernoulli, a pressão será menor no primeiro lado do que no segundo. Existirá então uma força que empurra a bola transversalmente do segundo lado (o que roda no sentido do movimento) para o primeiro. Em resultado disso, a trajectória da bola encurva para a esquerda se a parte da frente da bola rodar para a esquerda (figura 7) e vice-versa para a direita. Em conclusão, para que a trajetória da bola faça um arco para a esquerda, a bola deve ser chutada no seu lado direito, de forma a que a sua parte da frente rode para a esquerda.
Este mesmo princípio é aplicado na marcação de cantos, e o fenómeno ocorre também noutros desportos, como o ténis, o vólei ou o golfe.
Por: Nuno Barros e Sá
