O Problema das Quatro Cores: um problema simples, uma prova complexa

Num mundo cada vez mais acelerado e exigente, colorir pode ser um gesto simples, mas profundamente tranquilizador. Escolher cores, preencher espaços e seguir padrões, tornou-se uma forma de descontração para todas as idades. O objetivo não é a perfeição, mas sim o prazer de criar, de explorar e, sobretudo, de desacelerar. Mas colorir nem sempre é apenas uma atividade recreativa. Por vezes, uma simples tarefa de coloração pode conduzir a problemas matemáticos profundos.
Caro leitor, imagine que pretende colorir um mapa garantindo que regiões vizinhas não ficam com a mesma cor. Quantas cores são necessárias? Certamente que o número de cores irá depender do mapa que se pretende colorir. O mínimo será uma cor, quando o mapa só tiver um país. Duas cores, se tiver dois países. E se existirem três países? Bem, depende de como são as suas fronteiras. Se fizerem fronteira uns com os outros, necessitamos de três cores. Mas, por outro lado, se cada país apenas fizer fronteira com os seus vizinhos imediatos, como acontece com Portugal, Espanha e França, então são necessárias apenas duas cores. A questão que se coloca é a seguinte: será que se consegue estabelecer um número máximo de cores para colorir qualquer mapa independentemente do número de países e das suas fronteiras? Há três respostas para este problema que nos surpreendem. A primeira, sim, existe um limite máximo; a segunda, o número é notavelmente pequeno: somente 4 cores; a terceira, a prova é extraordinariamente difícil.
Foi esta pergunta, aparentemente inocente, que deu origem a um dos problemas mais famosos da Matemática: o problema das quatro cores.
A história começa em 1852, quando Francis Guthrie (1831–1899), um jovem estudante inglês, estava a colorir um mapa dos condados de Inglaterra. Reparou que nunca precisava de mais de quatro cores e perguntou-se se isso seria sempre verdade. Comentou o problema com o irmão mais novo, Frederick Guthrie (1833–1886). Este transmitiu a conjetura, juntamente com a demonstração insatisfatória de Francis, ao seu professor de matemática no University College, o notável matemático e lógico britânico Augustus de Morgan (1806–1871). De Morgan apresentou o “problema das quatro cores”, também conhecido como o “problema de Guthrie”, a outros matemáticos. Uma nota sobre a sua origem foi publicada por Frederick nos Proceedings of the Royal Society de Edinburgh no ano de 1880.
E foi assim, quase por acaso, que nasceu um problema matemático que demoraria mais de um século a ser resolvido. O enunciado é simples e fácil de compreender:
• Qualquer mapa plano pode ser colorido com, no máximo, quatro cores, de forma a que duas regiões que partilhem uma fronteira comum de comprimento maior do que zero não tenham a mesma cor.
Importa sublinhar que tocar apenas num ponto não conta como fronteira. É preciso partilhar um segmento de uma linha. Note-se que ao afirmar que quatro cores são suficientes para pintar qualquer mapa plano, não significa que seja necessário usar as quatro cores para pintar cada mapa. O que quer dizer é que, no máximo, são precisas quatro cores.
Durante décadas, muitos matemáticos tentaram provar este resultado. Em 1879, o matemático britânico Alfred Kempe (1849–1922) publicou uma prova que foi aceite como correta durante mais de dez anos. Tudo indicava que o problema estava finalmente resolvido. No entanto, mais tarde, descobriu-se uma falha na demonstração, o que invalidava o resultado.
Este episódio mostra bem como funciona a Matemática: mesmo ideias muito convincentes precisam de ser verificadas ao detalhe. Curiosamente, as ideias de Kempe não foram desperdiçadas. Muitos dos métodos que introduziu tornaram-se ferramentas importantes noutras áreas da Matemática. O erro acabou por abrir novos caminhos.
A derradeira demonstração só chegou em 1976, quando o matemático americano Kenneth Appel (1932–2013) e o matemático alemão Wolfgang Haken (1928–2022) apresentaram uma prova que recorreu, pela primeira vez de forma decisiva, ao uso de computadores. O método consistiu em reduzir o problema a milhares de casos possíveis, tal como começámos a fazer quando introduzimos o problema, e pedir ao computador que os verificasse um a um, algo impossível de fazer manualmente. O computador fez em horas o que um ser humano não conseguiria numa vida inteira.
Esta prova gerou polémica não só na Matemática, como também na Filosofia. Muitos questionaram se uma demonstração que nenhum ser humano consegue verificar integralmente pode ser considerada válida. Além disso, era preciso confiar no software e no hardware.
A propósito deste assunto, o génio matemático húngaro Paul Erdös (1913–1996) comentou que “God may not yet have the most elegant proof of the Four Color Theorem.” (Talvez Deus ainda não tenha a demonstração mais elegante do Teorema das Quatro Cores).
Hoje, tal teorema é amplamente aceite e marcou o início de uma nova era na Matemática, em que o computador passou a ser uma ferramenta essencial. Em 1997, os matemáticos Neil Robertson, Daniel Sanders, Paul Seymour e Robin Thomas produziram uma prova mais simples, com menos configurações, algoritmos melhores e uma verificação mais transparente, mas que continua a recorrer ao computador para fazer a verificação dos casos elencados.
A realçar que este teorema não vive apenas nos livros e na imaginação dos matemáticos. A ideia de usar o mínimo de “cores” para evitar conflitos surge em problemas muito atuais, nomeadamente, na organização de horários escolares, na atribuição de frequências em redes de telecomunicações, na gestão de tarefas ou na distribuição de recursos. No fundo, trata-se de encontrar soluções simples para situações complexas.
Talvez seja isso que torna o Teorema das Quatro Cores tão fascinante. A pergunta é simples, quase infantil, mas a resposta exigiu engenho, persistência e colaboração entre gerações. Mostra-nos que a Matemática é uma construção humana, feita de tentativas, erros e avanços sucessivos.
A propósito do inventor do Teorema das Quatro Cores, Francis Guthrie, matemático e botânico, era filho de Alexander David Guthrie e de Kitty Thompson. Obteve os bacharelatos em Arte (1850) e em Direito (1852), ambos com distinção máxima, na University College de Londres.
Guthrie trabalhou durante algum tempo como advogado consultor em Londres, mas dedicava maior interesse à Matemática e à Botânica, frequentando inclusivamente aulas desta última.
Em abril de 1861, foi para a Colónia do Cabo, África do Sul, para lecionar Matemática no recém-criado Graaff-Reinet College. Para além da docência, desempenhou o cargo de diretor da instituição entre 1870 e 1875. Foi também nesse período que o seu coração encontrou em Charlotte Isabella Grisbrook uma companheira para a vida, com quem se casou em 1871.
Em 1875, após uma longa visita a Inglaterra, estabeleceu-se na Cidade do Cabo. Três anos depois foi professor de matemática no South African College, cargo que ocupou durante pouco mais de vinte anos. Não apreciava particularmente lecionar em formato expositivo, mas acreditava no ensino individualizado e dedicava muito tempo e esforço aos que desejavam aprender. No âmbito das suas funções académicas, foi Secretário do Senado durante alguns anos. Entretanto, em 1877, tornou-se membro fundador da South African Philosophical Society, tendo integrado o seu conselho continuamente até 1894 e exercido funções de secretário-geral em 1878/79.
As contribuições de Guthrie para a Matemática incluem um manual, The Laws of Magnitude, or, the Elementary Rules of Arithmetic and Algebra Demonstrated, publicado em Londres em 1870. Nesse mesmo ano, publicou o artigo “On the square root of minus one” na Philosophical Magazine. Posteriormente, voltou-se mais para a mecânica. Ao longo da vida manteve um grande interesse pela Meteorologia e pela Física Atmosférica. Era um visionário em várias áreas do saber.
Como pessoa, Guthrie era “modesto, bondoso, paciente e muito estimado por colegas e alunos. Como académico, era culto, pensador original e trabalhador dedicado”. Foi membro do conselho da University of the Cape of Good Hope entre 1873 e 1879. No final da sua carreira, apesar da saúde debilitada, ainda foi examinador de matemática. Aposentou-se em janeiro de 1899, falecendo nesse mesmo ano.
Num mundo cada vez mais diverso e complexo, talvez não seja preciso multiplicar soluções, mas aprender a organizar bem as que temos. Que saibamos, como na Matemática, procurar simplicidade sem perder profundidade. Porque, afinal, quatro cores podem bastar quando há engenho, paciência e vontade de compreender.
Caro leitor, ao terminar mais um ano letivo de escrita de artigos (já lá vão 96 desde o início da minha colaboração em 2013), quero agradecer-lhe o tempo que dedicou à sua leitura e o interesse demonstrado ao longo deste percurso. Desejo-lhe umas excelentes férias, repletas de descanso, momentos felizes e novas descobertas. Deixo-lhe um miminho para relaxar e aplicar o teorema das quatro cores ao mapa de Portugal. Até breve!
Por: Maria do Carmo Martins