No ensino básico e secundário em Portugal aprende-se a calcular a área de figuras elementares como as do triângulo, do quadrado, do retângulo, do trapézio, do círculo, etc, usando para o efeito fórmulas elementares, obtendo facilmente o valor da sua área com a ajuda de uma calculadora. Podemos ter também figuras mais complexas, que resultam da composição das figuras elementares, montadas tipo puzzle geométrico, sendo apenas necessário efetuar um raciocínio básico, decompondo a estrutura geométrica em figuras elementares, o suficiente para calcular a área pretendida pela simples soma das partes. Mas, quando nos surge uma figura, cuja decomposição em figuras elementares já se torna impraticável, pela quantidade de cálculos necessários, surgem muitas vezes problemas de escala e o melhor que se consegue é encontrar uma estimativa que é munida de um erro elevado, tornando este cálculo incompatível com a exigência e precisão dos cálculos científicos modernos. Assim, existe a necessidade de introduzir outras ferramentas, cuja maior ou menor complexidade apenas depende do conhecimento da pessoa que quer efetuar o cálculo. O integral definido é a ferramenta mais usada.
Para usar o integral definido, na sua plenitude, é necessário ter algum conhecimento sobre funções, dominar as suas propriedades fundamentais como o domínio e continuidade. O processo de cálculo de uma área irregular fica mais fácil se conhecermos as expressões analíticas que definem a fronteira da figura que queremos determinar a área. Isso, na prática, não é possível pois nem todas as figuras irregulares têm fronteiras criadas com funções bem definidas, e mesmo que o tenha, às vezes as funções têm expressões tão complicadas que o simples cálculo de um integral definido, usando estas funções, torna-se moroso, roçando, muitas vezes, a impossibilidade, mesmo com o auxílio do computador.
Caso não sejam conhecidas as expressões analíticas, através do processo designado por interpolação de funções, podemos reconstruir a expressão analítica de cada uma das funções que constituem as fronteiras da figura. Podemos decompor figuras complexas em figuras simples, agrupar e determinar todas as expressões que necessitamos, desde que saibamos identificar um ponto pertencente a cada das funções, que nada mais menos é, do que a relação existente entre a imagem de uma função e o seu domínio. Claro, que os próprios processos de interpolação são construídos com ferramentas sofisticadas, o suficiente para meter um nervoso miudinho na cabeça dos que possuem baixa literacia matemática, mesmo que sejam resilientes, dificultando a sua implementação de forma geral e comum. Logo depois de se ter ultrapassado este pesadelo surge o confronto com a necessidade de resolver o integral definido, usando primitivas de funções reais. As primitivas, heroínas vistas como criminosas aos olhos do estudante, são divulgadas em fastidiosas e longas tabelas, fazendo parte de um acervo matemático que só é estudado em Universidades, especialmente em cursos que tenham um cariz científico próximo das ciências exatas.
Assim, o ideal é optar por um método numérico simples e prático, que consiga resolver o integral definido, ou pelo menos que se possa obter uma aproximação quase exata do valor da área dada pelo mesmo. Não precisa de saber primitivas, nem de saber a expressão analítica das expressões que representam as funções que são as fronteiras da figura.
Apenas tem de saber identificar pontos num gráfico, tipo como fazíamos em criança com o jogo da batalha naval, e de resolver alguns cálculos, somas e produtos simples, que neste caso uma simples calculadora ajuda. Vou-vos mostrar um destes métodos, o que é conhecido pelo método de Simpson, mais especificamente o método 1/3-Simpson. Também precisa de saber construir uma tabela de valores.
Vamos usar, como exemplo, a figura que está aqui representada neste artigo a cinzento. Vamos calcular uma estimativa quase exata do valor da sua área, dependendo a precisão deste valor apenas da quantidade de pontos que recolhemos da figura. Quanto mais pontos recolhermos, mais preciso ficará o valor final.
Na figura desenhe o maior segmento de reta possível, em termos de distância, que atravesse a figura. Numa das extremidades coloque um gráfico cartesiano, de preferência com a mesma escala nos valores das abcissas e das ordenadas. Olhe para a imagem que acompanha este artigo. A figura ficou decomposta em duas partes. A linha superior corresponde a uma fronteira s(x). A linha inferior corresponde a uma fronteira i(x).
Agora, o segmento que atravessa a figura vamos dividi-lo num número par de intervalos. Vamos designar este número pela letra “m”. Na nossa figura, usando as quadriculas como escala, verificamos que o segmento tem 16 unidades de tamanho. Vamos dividir este segmento em m=8 pedaços geometricamente iguais.
O valor da subdivisão em segmentos mais pequenos tem que ser sempre um número par. Obtemos um valor que vamos designar por h, neste caso h=2, que corresponde ao tamanho dos segmentos mais pequenos. Assim, obtemos os valores x0=0, x1=2, x2=4, x3=6, …, x8=16. Agora, centre a sua atenção na linha de fronteira superior. Veja que para a abcissa x0=0, temos o valor da ordenada de s(x) como sendo zero; para o valor de abcissa x1=2, temos o valor da ordenada de s(x) como sendo um. Repetindo o processo podemos facilmente completar a linha mostrada na tabela de s(x). Para a função inferior as abcissas são as mesmas, mas agora as ordenadas são valores negativos. Observe na tabela a linha completa correspondente à função i(x). Estamos quase no final do cálculo. Fácil, não é? Agora vamos calcular valores de uma função d(x)=s(x)-i(x), ou seja, 0-0=0; 2-(-4)=6; 4-(-1)=5, …, obtendo os valores da última linha da nossa tabela.
Considerando agora todas as abcissas com um índice par, como x0, x2, x4, x6 e x8 e as abcissas com um índice ímpar x1, x3, x5 e x7.
Adicione-se o valor da ordenada de d(x) para a abcissa menor, d(x0)=0 com o valor da ordenada de d(x) para a abcissa maior d(x8)=0. Assim, d(x0)+d(x8) =0.
Calculemos o quádruplo da soma das ordenadas das abcissas ímpares restantes de d(x), obtendo d(x1)+d(x3)+d(x5)+d(x7)=21. Logo 4×21=84.
Calculemos o dobro da soma das ordenadas das abcissas pares restantes de d(x), obtendo d(x2)+d(x4)+d(x6)=14. Logo 2×14=28.
O valor da área é dado por 2/3(0+84+28)=74,67 unidades de área. Considerando os quadrados da figura, como unidade de área, este valor dá-nos a quantidade de quadrados contidos na mesma, sendo um valor entre 74 e 75 quadrados inteiros, mais exatamente 74,67 quadrados. Pode contá-los um a um e surpreenda-se.
Por: João MG Cabral
