À primeira vista, a palavra semigrupo poderá sugerir ao leitor uma versão incompleta de um grupo matemático. E, de certa forma, é isso que acontece. No entanto, esta aparente simplificação esconde uma teoria extraordinariamente rica, com ligações à Álgebra, à Análise, à Informática, à Física, à Teoria dos Autómatos, às equações diferenciais e ao estudo de sistemas que evoluem ao longo do tempo. Os semigrupos constituem hoje uma importante área da Matemática e são um bom exemplo de como estruturas definidas a partir de um pequeno número de regras podem adquirir uma enorme profundidade.
Para perceber o que é um semigrupo, podemos começar por usar uma ideia muito simples: combinar dois objetos para produzir um terceiro. Quando somamos dois números naturais, multiplicamos duas matrizes ou aplicamos sucessivamente duas transformações, estamos a realizar operações deste género. Um semigrupo é, essencialmente, um conjunto equipado com uma operação binária que satisfaz uma única propriedade fundamental: a associatividade.
Se representarmos a operação por um “.”, isto significa que, para quaisquer elementos a, b e c, temos
(a.b).c=a.(b.c).
Parece uma condição bastante modesta, sobretudo quando comparada com a definição de grupo, onde se exige também a existência de um elemento neutro e de elementos inversos. Num semigrupo, nada disso é obrigatório. E é precisamente esta liberdade que permite que a teoria se aplique a situações muito mais gerais. Um exemplo elementar é o conjunto dos números naturais com a operação de adição. A operação é associativa: (2+3)+4=2+(3+4). Existem igualmente exemplos menos evidentes. As transformações de um conjunto nele próprio, quando combinadas por composição, formam um semigrupo. As matrizes quadradas de uma determinada ordem, com a multiplicação habitual, fornecem outro exemplo. Em ambos os casos, nem todos os elementos têm inverso, o que impede, em geral, que estas estruturas sejam grupos. Contudo, continuam a preservar a propriedade associativa. Esta diferença entre grupos e semigrupos é particularmente importante. Nos grupos, todos os elementos podem, de certa forma, ser “desfeitos”. Se uma transformação pertence a um grupo, existe outra transformação capaz de a inverter. Mas muitos processos do mundo real não são reversíveis. Misturar duas substâncias, apagar informação ou executar determinadas operações computacionais são processos em que o caminho inverso pode não existir. Os semigrupos permitem estudar matematicamente esta irreversibilidade.
Uma teoria relativamente recente
Embora exemplos de estruturas que hoje reconhecemos como semigrupos aparecessem implicitamente em trabalhos matemáticos anteriores, a teoria autónoma dos semigrupos começou a desenvolver-se sobretudo nas primeiras décadas do século XX. A própria teoria dos grupos, nascida de problemas relacionados com equações algébricas e profundamente desenvolvida durante o século XIX, serviu naturalmente de ponto de partida. Uma pergunta matemática muito comum consiste em perguntar o que acontece quando retiramos algumas condições de uma definição. Se abandonarmos, por exemplo, a obrigação de cada elemento possuir um inverso, que tipo de estrutura permanece? Que propriedades ainda podem ser demonstradas? Como poderão ser classificados os novos objetos?
Um dos pioneiros neste domínio foi o matemático Sushkevich. Os seus trabalhos, iniciados nas primeiras décadas do século XX, anteciparam muitas ideias que posteriormente se tornariam fundamentais na teoria dos semigrupos. Em 1928 publicou um trabalho sobre estruturas finitas que hoje interpretamos em linguagem moderna como semigrupos, estudando, entre outros aspetos, a organização dos seus ideais e das componentes semelhantes a grupos. A importância dessas contribuições apenas viria a ser plenamente reconhecida mais tarde. Nas décadas seguintes, outros matemáticos contribuíram decisivamente para a consolidação da teoria. David Rees desenvolveu, no início da década de 1940, resultados fundamentais sobre a estrutura de certas classes de semigrupos. Alfred H. Clifford, John M. Howie (com quem tive o prazer e a honra de privar), Gordon Preston e J. A. Green são outros nomes incontornáveis no desenvolvimento da teoria dos semigrupos. Em particular, as chamadas relações de Green, introduzidas no início da década de 1950, permitiram compreender de forma muito mais sistemática a estrutura interna dos semigrupos, identificando relações entre os seus elementos. A partir das décadas de 1950 e 1960, a teoria cresceu rapidamente e estabeleceu relações com outras áreas da Matemática. Aquilo que inicialmente poderia parecer apenas uma generalização abstrata da teoria dos grupos transformou-se numa área autónoma, com os seus próprios problemas, técnicas e resultados.
Máquinas, linguagens e computadores
Uma das ligações mais interessantes surgiu com a Informática Teórica. Imagine-se uma máquina que recebe uma sequência de símbolos e muda de estado à medida que os vai lendo. É esta, em termos muito simplificados, a ideia de um autómato finito. Cada símbolo recebido pode ser visto como uma transformação do conjunto de estados da máquina. Quando dois ou mais símbolos são lidos sucessivamente, estamos a compor transformações. Como a composição é associativa, estas transformações formam naturalmente um semigrupo. Esta observação estabelece uma ponte profunda entre Álgebra e Ciência da Computação. Em vez de analisar apenas uma máquina através de diagramas de estados, podemos estudar o semigrupo das suas transformações. Algumas propriedades de linguagens formais podem então ser traduzidas em propriedades algébricas. Esta relação desempenhou um papel fundamental no desenvolvimento da teoria dos autómatos e das linguagens formais. Os semigrupos finitos tornaram-se ferramentas essenciais para estudar linguagens reconhecidas por computadores idealizados, contribuindo para esclarecer questões relacionadas com reconhecimento de padrões, processamento de sequências e complexidade algorítmica. Sempre que temos operações que podem ser realizadas sucessivamente e para as quais a ordem de associação não altera o resultado, existe potencialmente uma estrutura de semigrupo. Por isso, conceitos desta teoria surgem de forma explícita ou implícita em algoritmos, estruturas de dados e modelos de computação.
Abstrair para encontrar aquilo
que é comum
Poderá parecer surpreendente que números, matrizes, programas informáticos, máquinas abstratas, processos probabilísticos etc., possam ser estudados usando uma mesma ideia matemática. É precisamente aqui que se encontra uma das grandes forças da Matemática: a abstração. Quando um matemático define um semigrupo, deixa deliberadamente de lado a natureza concreta dos objetos. Estes podem ser números, funções, matrizes ou transformações. Interessa apenas que exista uma operação associativa. Ao fazer esta abstração, os resultados demonstrados deixam de pertencer exclusivamente a um problema particular. Um teorema provado para semigrupos poderá aplicar-se simultaneamente a muitas situações completamente diferentes. É um princípio recorrente na história da Matemática. Primeiro surgem problemas concretos. Depois identificam-se padrões comuns. Finalmente constrói-se uma teoria abstrata que explica todos esses exemplos e, frequentemente, permite descobrir fenómenos novos que não tinham sido imaginados no início.
Os semigrupos mostram também que enfraquecer uma definição matemática não significa necessariamente tornar o problema mais simples. Retirar a condição de existência de inversos aos grupos aumenta enormemente o número de estruturas possíveis. Essa diversidade torna a classificação dos semigrupos muito mais complexa e, em muitos aspetos, mais difícil do que a teoria correspondente dos grupos. É precisamente essa riqueza que mantém ativa a investigação na área. Estudam-se semigrupos finitos e infinitos, semigrupos de transformações, semigrupos inversos, semigrupos regulares, semigrupos de operadores e muitas outras classes com propriedades particulares.
Por: Paulo Medeiros
